impossibilità, teorema dell'

impossibilita, teorema dell'

impossibilità, teorema dell’ Teorema formulato da K.J. Arrow (➔ ) nel 1951.

Dalla riflessione sull’ottimo paretiano all’elaborazione del teorema

Il criterio di Pareto (➔ Pareto, ottimo di p) è anche una regola di scelta sociale: la società dovrebbe preferire la situazione nella quale, rispetto alle alternative, almeno un individuo stia meglio e, nello stesso tempo, nessun altro stia peggio. Questo criterio non porta, però, ad alcuna scelta se le due opzioni sono tali che il passaggio dall’una all’altra migliora il benessere di qualcuno mentre peggiora quello di qualcun altro. Esso non è, dunque, in grado di ordinare tutte le possibilità. Arrow si chiese se vi fosse una regola di decisione sociale che, partendo dalle preferenze individuali, ordinasse l’insieme delle alternative, diversamente dal criterio di Pareto, soddisfacendo alcune condizioni essenziali. Il teorema dell’i. sostiene che una simile regola è impossibile da individuare.

La dimostrazione del teorema

Le condizioni imposte da Arrow alla regola sono le seguenti. Essa deve funzionare con qualsiasi insieme di preferenze che i singoli individui possano avere tra le varie alternative (dominio universale). Se tra due opzioni, una è unanimemente preferita, allora questa deve essere la scelta della società; se mancasse unanimità, qualsiasi altra potrebbe essere adottata (criterio di Pareto debole). La regola non deve identifi- care le preferenze sociali con quelle di un singolo individuo, che sarebbe da considerare un dittatore (non dittatorialità). Infine, la scelta tra due possibilità deve dipendere soltanto dalle preferenze individuali tra di esse, senza alcun ruolo per le preferenze rispetto ad altre alternative (indipendenza dalle alternative irrilevanti). Questa condizione, in linea con la concezione ordinalista dell’utilità, assicura che conti soltanto come le alternative vengono ordinate dagli individui. Con il teorema dell’i., Arrow dimostra che non esiste alcuna regola di decisione sociale che, rispettando queste condizioni, porti a classificare tutte le possibili situazioni. Anche la maggioranza incappa nel teorema: pur soddisfacendo tutte le condizioni, infatti, essa può non essere in grado (se le preferenze individuali sono sufficientemente diversificate e le alternative sono almeno 3) di condurre a una classifica completa. In particolare, può aversi che la prima batta a maggioranza la seconda; la seconda batta la terza ma quest’ultima sconfigga la prima sempre a maggioranza (paradosso di Condorcet, ➔ Condorcet, criterio di). L’intransitività rende impossibile ordinare le 3 alternative.

Il superamento dell’impossibilità di Arrow

Per ovviare a tale i., che farebbe considerare non accettabile ogni criterio di decisione effettivamente adottato, è stato proposto di indebolire l’una o l’altra delle condizioni e in particolare quella di dominio universale, anche considerando che in società integrate le preferenze individuali sono piuttosto omogenee. Si è così stabilito che se le preferenze sono ‘a un solo picco’ (cioè, ipotizzando 3 sole alternative, tutti gli individui, pur avendo graduatorie diverse, concordano che ve ne è una ‘centrale’ preferibile rispetto ad almeno una delle estreme), allora la maggioranza non dà luogo a intransitività. Pertanto, con questa restrizione, essa è una valida regola di decisione sociale e, come si dimostra, porta a scegliere l’alternativa preferita dall’elettore mediano (➔ elettore mediano, teorema dell’). Una diversa via di uscita, indicata da A.K. Sen (➔), consiste nell’utilizzare un insieme più ampio di informazioni rispetto alle sole preferenze, e quindi al benessere, degli individui.