Abel-Ruffini, teorema di
Abel-Ruffini, teorema di
Abel-Ruffini, teorema di in algebra, stabilisce che non esiste una formula risolutiva esprimibile tramite radicali per determinare le soluzioni dell’equazione algebrica.
nell’incognita x e a coefficienti reali ai, se il grado n è maggiore di o uguale a 5.
Nel caso di un’equazione di grado 2, della forma ax2 + bx + c = 0, le sue due soluzioni (eventualmente complesse) sono fornite, in funzione dei suoi coefficienti a, b e c, dalla formula
Formule analoghe, anche se più complicate, esistono nel caso di equazioni di grado 3 (→ Cardano, formule di) e di grado 4 (→ Ferrari, formule di). Il teorema di Abel-Ruffini fornisce una risposta negativa sulla validità in generale di formule di questo tipo per equazioni di grado maggiore di 4: non è possibile, cioè, esprimere le soluzioni di una qualsiasi equazione di grado maggiore di o uguale a 5 per mezzo di formule generali che, in funzione dei loro coefficienti, coinvolgano solamente un numero finito di somme, prodotti, divisioni ed estrazioni di radici. Il teorema di Abel-Ruffini è conseguenza del fatto che il gruppo di Galois associato al polinomio generale
è il gruppo simmetrico Sn e che tale gruppo è risolubile se n > 4 (→ Galois, teoria di). È bene sottolineare che il teorema di Abel-Ruffini non afferma che nessun polinomio di grado maggiore di 4 è risolubile per radicali (un controesempio in questo senso, infatti, è offerto dai polinomi della forma xn − 1, dove n è un arbitrario intero positivo). Afferma invece che, per ogni grado n > 4, esistono polinomi di grado n che non sono risolubili per radicali (→ equazione polinomiale).