Beth-Padoa, teorema di

Beth-Padoa, teorema di

Beth-Padoa, teorema di o teorema di definibilità, in logica, teorema che stabilisce che ogni concetto (per esempio, in termini linguistici, un predicato) implicitamente definibile in una teoria ammette sempre anche una definizione esplicita. Una definizione implicita di un simbolo o un termine è quella che si ottiene attraverso le sue relazioni con altri simboli o termini della teoria stessa. Già A. Padoa nel 1901 aveva chiarito che un simbolo k di un linguaggio L in cui è espressa una teoria T non è definibile in T se esistono due modelli di T che differiscono soltanto per l’interpretazione di k. Beth nel 1953 reinterpretò il principio di Padoa: una formula F (del linguaggio L) in cui compare un predicato P definisce implicitamente P se, considerato un altro predicato P′ non appartenente a L e sostituitolo a P ovunque occorra – e quindi anche in F, che diventa così F′ – nella nuova teoria è possibile dedurre dalla formula (F ∧ F′ ) che P è logicamente equivalente a P′. Una formula F (del linguaggio L) in cui compare un predicato P lo definisce invece esplicitamente se esiste in L un’altra formula G tale che da F si dimostra l’equivalenza logica di P e G.