Dini, teorema di (o teorema della funzione implicita)

Dini, teorema di (o teorema della funzione implicita)

Dini, teorema di (o teorema della funzione implicita) Teorema, dimostrato dal matematico U. Dini, che stabilisce quando il luogo di zeri di un’equazione implicita si può esplicitare rispetto a una variabile. Nella sua formulazione più semplice, va considerata l’equazione f(x, y)=0, dove la funzione f(x, y) è continua e con derivate parziali nel campo C, in cui è definita f. Sia P₀=(x₀, y₀) una soluzione dell’equazione f(x, y)=0 appartenente a C e tale che la derivata parziale f_y (P₀)≠0, dove fy(x, y)=δf(x, y)/δy. Allora, in un intorno U di x₀ esiste una e una sola funzione derivabile y=v(x), che soddisfa la relazione f(x, v(x))=0 e tale che, v'(x)=−f_x (x, v(x))/f_y (x, v(x)), per ogni x∊U. La funzione v(x) è chiamata funzione implicitamente definita. Va rilevato che, anche quando non è possibile trovare la forma analitica di v(x), è possibile studiarne il comportamento (punti di massimo e/o minimo, asintoti, flessi e così via) grazie alla relazione che lega la derivata v'(x) alle derivate parziali di funzione. Il teorema della funzione implicita è usato in tutte le applicazioni economiche della statica comparata (➔ Le Chatelier, principio di).