teorema di esistenza degli zeri

teorema di esistenza degli zeri

Sia f una funzione continua a valori reali su un intervallo chiuso [a,b] della retta reale ℝ e sia c un numero reale compreso tra f(a) e f(b). Il teorema di Bolzano, noto anche come teorema di Cauchy, stabilisce allora che esiste un punto x₀∈[a,b] tale che f(x₀)=c. In particolare, se f(a)〈0 e f(b)>0 (o viceversa), esiste un punto x₀ tale che f(x₀)=0. In questa forma, tale risultato è noto con il nome di teorema di esistenza degli zeri. La dimostrazione può essere realizzata a partire dal principio degli intervalli inclusi di Bolzano-Weierstrass, secondo il quale una successione di intervalli I_n tale che I_n+1⊂I_n per ogni n∈ℕ ha un’intersezione non vuota. Basterà infatti dividere l’intervallo [a,b] in due metà e osservare che almeno in una delle due f assume valori strettamente maggiori e minori di c. Scegliendola e iterando la procedura, otteniamo nel limite il punto x₀ desiderato. Dal teorema di Bolzano segue che l’immagine di un intervallo tramite una funzione continua è anch’essa un intervallo. Esso è spesso utilizzato per determinare intervalli nei quali una funzione ha necessariamente degli zeri, ma può essere considerato anche uno dei principali teoremi di esistenza dell’analisi matematica classica. Il teorema può inoltre essere generalizzato al caso di spazi topologici: una funzione continua f:X→ℝ definita su uno spazio topologico connesso X che assuma due valori distinti assume anche ogni valore tra di essi. L’immagine di X è dunque ancora una volta un intervallo. L’ipotesi di connessione per X è qui essenziale.

→ Equazioni differenziali: problemi non lineari