teorema di Fritz John
teorema di Fritz John
Condizione necessaria che estende alla programmazione non lineare la classica condizione dei moltiplicatori di Lagrange (nota quando tutti i vincoli erano invece scritti sotto forma di uguaglianza). Consideriamo un generico problema di programmazione non lineare, in cui occorra trovare per es., il massimo di una funzione f quando le variabili decisionali xj sono soggette a determinati vincoli scritti sotto forma di disuguaglianze gi (x)≤0. Naturalmente, i vincoli scritti come gi (x)≥0 possono essere riportati alla precedente forma con un semplice cambiamento di segno; considereremo allora, come caso particolare, anche le condizioni di non negatività delle variabili decisionali. Nulla vieta anche di considerare espressamente ulteriori vincoli scritti sotto forma di uguaglianza. Il teorema di Fritz John afferma che se x0 è soluzione anche solo locale del problema di programmazione non lineare e le funzioni f e gi risultano differenziabili in x0, allora esiste un vettore (ϑ0,λ0), diverso dal vettore nullo e a componenti non negative, tale che la funzione lagrangiana L=ϑ0 f (x)−∑λi0gi (x) annulla nel punto x0 tutte le sue derivate parziali rispetto alle variabili xj. Sono inoltre soddisfatte le condizioni di complementarità λi0gi (x0)=0: per i vincoli attivi, quando è gi(x0)=0, λi0 può essere nullo mentre deve necessariamente annullarsi in corrispondenza dei vincoli inattivi.