Heine-Pincherle-Borel, teorema di
Heine-Pincherle-Borel, teorema di
Heine-Pincherle-Borel, teorema di noto anche come teorema di Heine-Borel (o a volte riferito al solo Borel, come teorema di Borel), afferma che un insieme chiuso e limitato di Rn è → compatto. Il teorema (valido per gli spazi topologici euclidei) si può enunciare anche in questa forma: condizione necessaria e sufficiente perché un insieme sia compatto è che sia chiuso e limitato. Il teorema inverso (ogni insieme compatto è chiuso e limitato) è sempre vero in uno spazio di Hausdorff; nel teorema di Heine-Pincherle-Borel, invece, la condizione che lo spazio abbia dimensione finita n è essenziale, in quanto in un generico spazio topologico questo risultato non vale. Per esempio, in uno spazio di Banach X di dimensione infinita la sfera unitaria {x : ǁxǁ = 1} è chiusa e limitata, ma non compatta. È infatti possibile trovare delle successioni {xn} di versori da cui non si può estrarre alcuna sottosuccessione convergente: si prenda per esempio xn = sin(n πt) in C0([0, 1]). Il teorema fu inizialmente enunciato da Heine per un rettangolo e fu esteso da S. Pincherle ed É. Borel a un insieme chiuso e limitato qualsiasi; per esempio, nel caso della retta, un dato intervallo può essere ricoperto da un insieme finito di intervalli aperti, dai quali si può estrarre un insieme finito che ricopre ancora l’intervallo dato.