teorema di Mazur
teorema di Mazur
Proposizione secondo la quale uno spazio normato, un insieme che sia convesso e chiuso è anche chiuso rispetto alla topologia debole. Nella topologia debole si hanno meno insiemi aperti, e quindi meno insiemi chiusi, che sono i loro complementari: in generale, quindi, un insieme, che sia chiuso rispetto alla metrica che deriva dalla norma, non è necessariamente chiuso nella topologia debole. Questo fatto però non si verifica se l’insieme è convesso. Sia X uno spazio normato e xn in X. Diciamo che una successione (xn) converge debolmente a x* se per ogni x′ nello spazio duale X′ si ha che x′(xn)→x′(x*). Il teorema di Mazur afferma che se X è uno spazio di Banach e (xn) una successione di elementi di X che converge debolmente a x*, allora, una successione di combinazioni convesse di elementi di (xn) converge in norma a x*. Una tipica applicazione di questo lemma si trova nella dimostrazione della semicontinuità inferiore debole dei funzionali convessi.