Riemann-Dini, teorema di

Riemann-Dini, teorema di

Riemann-Dini, teorema di in analisi, stabilisce che una serie convergente è incondizionatamente convergente se e solo se è assolutamente convergente. Una serie numerica si dice incondizionatamente convergente se la sua somma non muta cambiandone l’ordine degli addendi. Nel caso invece di una serie convergente ma non assolutamente convergente, è possibile trovare una permutazione dei termini in modo che la nuova serie abbia una somma S assegnata a priori, oppure diverga a +∞, a −∞ o a ∞ senza segno, o anche che ammetta un intervallo di oscillazione arbitrariamente scelto. Per esempio, la serie armonica a segni alternati

converge per il criterio di → Leibniz e ha somma S = ln2, ma non converge assolutamente. Si può verificare che se si prendono in modo alternato due termini positivi e uno negativo (nell’ordine in cui originariamente si susseguivano) la serie ottenuta

converge a

e in generale si dimostra che prendendo p termini positivi e q negativi si ha la somma