Rouche, teorema di

Rouche, teorema di

Rouché, teorema di in analisi complessa, traduce il fatto che perturbando di poco una funzione analitica ƒ(z) i suoi zeri si spostano, ma il loro numero non muta. Precisamente il teorema afferma che, date due funzioni ƒ(z) e g(z), analitiche nello stesso dominio Ω avente come frontiera un ciclo Γ sul quale risulta |g(z)| < |ƒ(z)|, le funzioni ƒ(z) e ƒ(z) + g(z) ammettono lo stesso numero di zeri (contati con la loro molteplicità) in Ω.

Per esempio, siano ƒ(z) = zⁿ e g(z) = a₁zⁿ⁻¹ + a₂zⁿ⁻² + ... + a_n e la funzione ƒ(z) ammetta uno zero n-uplo nell’origine. Scelto allora R = max|a_k| + 1, si verifica che sulla circonferenza Γ di equazione |z| = R risulta |g(z)| < |ƒ(z)|, per cui le n radici dell’equazione zⁿ + a₁zⁿ⁻¹ + a₂zⁿ⁻² + ... + a_n = 0 hanno modulo minore di R e quindi il loro numero non può superare quello delle radici di ƒ(z).