Sylvester, teorema di
Sylvester, teorema di
Sylvester, teorema di o teorema di inerzia, in algebra lineare, stabilisce che l’indice di positività (vale a dire il numero di autovalori positivi) e l’indice di negatività (vale a dire il numero di autovalori negativi) di una matrice simmetrica a coefficienti reali A sono invarianti per congruenza (→ matrici, congruenza di): ciò vuol dire che ogni matrice della forma CACT ha gli stessi indici di positività e negatività di A, dove C è un’arbitraria matrice invertibile e dove CT ne indica la trasposta. Un’importante conseguenza del teorema di Sylvester è la seguente: due matrici simmetriche a coefficienti reali sono congruenti se e solo se esse hanno lo stesso rango e la stessa segnatura (cioè la stessa differenza tra l’indice di positività e l’indice di negatività). Sostanzialmente diverso è invece il caso complesso: in questo caso, infatti, non esiste segnatura e due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno lo stesso rango. Quanto detto può essere riformulato nel contesto delle → forme quadratiche: due forme quadratiche definite su uno spazio vettoriale reale di dimensione finita sono congruenti se e solo se hanno lo stesso rango e la stessa segnatura, mentre due forme quadratiche definite su uno spazio vettoriale complesso di dimensione finita sono congruenti se e solo se hanno lo stesso rango.