teorema

teorema

teorema in matematica e in logica, enunciato per il quale esiste una dimostrazione a partire da un insieme di → assiomi; esso può cioè essere dedotto da tali assiomi attraverso regole di deduzione prestabilite. Si tratta dunque di una nozione relativa a un determinato sistema assiomatico; se questo è formalizzato nell’usuale logica del primo ordine, tale nozione di teorema di natura sintattica coincide con quella alternativa di natura semantica secondo la quale un teorema è la → conseguenza logica dell’insieme di assiomi. Per esempio:

• il teorema di Pitagora afferma che «in un triangolo rettangolo, la somma dei quadrati costruiti sui due cateti è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa» e può essere dimostrato nell’ambito della geometria euclidea;

• il teorema fondamentale dell’aritmetica riguarda i numeri naturali e afferma che «ogni numero naturale maggiore di 1 può essere scritto come prodotto di numeri primi in modo unico a meno dell’ordine dei fattori» e può essere dimostrato nell’ambito della teoria dei numeri.

L’affermazione in sé è detta enunciato del teorema mentre l’insieme dei passaggi logici che giustificano l’affermazione è detto → dimostrazione del teorema. I teoremi prendono di solito il nome o dal loro contenuto (per esempio, il teorema del coseno, il teorema dei numeri primi) o dal loro ruolo all’interno di una specifica branca della matematica (per esempio, il teorema fondamentale dell’algebra, il teorema fondamentale del calcolo integrale, il teorema fondamentale delle affinità) o dal nome di chi per primo ne ha dato una dimostrazione (per esempio, il teorema di Desargues).

Non tutti i teoremi sono di tipo costruttivo. Alcuni si limitano ad affermare che esistono uno o più elementi che, all’interno della teoria considerata, godono di una data proprietà: teoremi di questo tipo sono detti teoremi di esistenza e hanno un ruolo fondamentale nel dare compiutezza a una teoria o nel dare indicazioni circa un oggetto che, nel concreto, può però non sapersi determinare. A volte, oltre all’esistenza, si vuole affermare l’unicità dell’elemento avente la caratteristica richiesta: sono questi i teoremi di unicità che permettono sia di individuare le peculiarità di un dato elemento, sia di restringere la ricerca alla sua individuazione.

Spesso, l’enunciato di un teorema è espresso in forma di implicazione: se A allora B. In virtù del teorema di → deduzione, dimostrare un teorema sotto forma di implicazione A ⇒ B equivale a dimostrare che dalla proposizione A si può dedurre logicamente la proposizione B.

In un calcolo logico come il calcolo degli → enunciati, il calcolo dei → predicati o il calcolo dei → sequenti, le regole di deduzione (o regole di → inferenza) sono formalizzate e la loro applicazione trasforma una formula ben formata in un’altra formula ben formata, costruendo così una catena di deduzione che muove dagli assiomi e giunge all’enunciato che si intende dimostrare. A titolo di esempio viene riportata la deduzione logica della formula ben formata A ∨ ￢A nel calcolo dei sequenti:

La deduzione precedente parte dall’assioma identità, schematizzato dal sequente A ⊦ A (il simbolo ⊦ qui indica il simbolo di sequente e separa le premesse, che si trovano a sinistra di esso, dalle conseguenze, che si trovano a destra) e arriva a dedurre la formula A ∨ ￢A mediante l’applicazione delle regole di inferenza sopra specificate (regola di introduzione della negazione, introduzione della disgiunzione ecc.).