insiemi, teoria degli
insiemi, teoria degli settore della matematica che studia gli insiemi, le loro proprietà e le operazioni tra essi. La prima trattazione sistematica della teoria degli insiemi si deve a G. Cantor che vi lavorò a partire dal 1872 nel tentativo di dare una fondazione unitaria alla matematica e risolvere, nel contempo, problemi connessi con la teoria dei numeri irrazionali, con gli sviluppi in serie trigonometriche e con secolari questioni quali il rapporto fra infinito potenziale e infinito attuale (→ infinito). La matematica greca aveva bandito l’infinito attuale, secondo una tradizione risalente ad Aristotele e ribadita quasi assiomaticamente dalla filosofia scolastica con il motto «Infinitum actu non datur». Cantor, al contrario, partì proprio dall’accettazione dell’infinito attuale, ed elaborò una serie di strumenti e nozioni che lo condussero a considerare insiemi infiniti, ai quali estendere la relazione di equipotenza, e, corrispondentemente, numeri transfiniti. Dopo numerose pubblicazioni in cui era stata anticipata, e nonostante l’opposizione di quasi tutti i matematici a lui contemporanei, la nozione fondamentale di insieme fu presentata compiutamente da Cantor nei due volumi Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (Contributi alla fondazione degli insiemi transfiniti, 1895-97), dove è così definito: «Per insieme intendiamo ogni raggruppamento M in un tutto di determinati e ben distinti m oggetti della nostra intuizione o del nostro pensiero». Un insieme è quindi una collezione completamente caratterizzata dagli enti che le appartengono. Nella concezione cantoriana si possono però individuare tre differenti accezioni del termine, ossia: 1) insieme finito (definizione estensionale di insieme); 2) sottoclasse di una collezione di enti già dati (per esempio di punti o di numeri reali); 3) insieme di enti che soddisfano una data proprietà (definizione intensionale di insieme). Il carattere estremamente generale e astratto di tale nozione e la confusione di questi aspetti diede origine a notevoli difficoltà e ad antinomie che rendevano contraddittoria la teoria e che avrebbero trovato successivamente espressione nei dibattiti sulla crisi dei → fondamenti della matematica. Occorre notare che Cantor stesso aveva individuato, ma non pubblicato ritenendo probabilmente di poterla risolvere, una contraddizione nel suo sistema, l’antinomia della classe totale, che nasce dal confronto della cardinalità dell’insieme U di tutti gli insiemi, per Cantor liberamente definibile, con quella del suo insieme delle parti: mentre infatti, come egli aveva già dimostrato, l’insieme delle parti ℘(X) di un insieme X ha cardinalità superiore all’insieme X, l’insieme U di tutti gli insiemi, dovendo avere tra i suoi sottoinsiemi anche ℘(U), giacché è esso stesso un insieme, ha cardinalità maggiore o uguale a ℘(U). In ogni caso, nonostante difficoltà e resistenze, il nuovo quadro teorico proposto da Cantor, si affermò, anche grazie all’autorevolezza di D. Hilbert, che appoggiò l’impostazione cantoriana giungendo a scrivere: «Nessuno potrà cacciarci dal paradiso che Cantor ha creato per noi».
Per evitare le contraddizioni e fornire un quadro astratto adeguato allo sviluppo della matematica il concetto di insieme è stato successivamente sottoposto a serie revisioni. Diverse teorie formalizzate sono state proposte per andare oltre la definizione cantoriana. In particolare: la teoria dei → tipi, proposta da B. Russell e A.N. Whitehead; la teoria assiomatica di E. Zermelo, poi arricchita da A. Fraenkel (→ Zermelo-Fraenkel, assiomi di); la teoria delle classi proposta da J. von Neumann, P. Bernays e K. Gödel (→ Neumann-Bernays-Gödel, teoria di). Nonostante le loro differenze, queste teorie rappresentano espressioni diverse di una stessa teoria matematica e, anche se per esempio la teoria di Neumann-Bernays-Gödel distingue tra insiemi e classi mentre quella di Zermelo-Fraenkel considera soltanto gli insiemi, tuttavia gli enunciati dimostrabili nelle diverse teorie sono gli stessi.
Tutte le soluzioni proposte hanno comunque in comune lo scopo di prevenire la formazione di insiemi “troppo grandi” o comunque corrispondenti a proprietà estensionalmente mal definite (come «l’insieme di tutti gli insiemi» dell’antinomia della classe totale o «l’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a sé stessi» dell’antinomia di → Russell).
In questo contesto è possibile ricostruire la teoria cantoriana e riformularne i problemi più interessanti. Così, all’interno della teoria dei numeri transfiniti, che propone un ordinamento per grandezza degli insiemi infiniti, si distingue fra considerazioni di carattere ordinale (relative alla possibilità di ordinare opportunamente gli elementi degli insiemi) e considerazioni di carattere cardinale (che riguardano la possibilità, dati due insiemi, di porli in corrispondenza biunivoca). La teoria degli ordinali transfiniti diventa una delle parti più cospicue della teoria degli insiemi e proprio fondandosi su essa Cantor riesce a costruire una successione dei cardinali transfiniti, di cui il primo, aleph con zero (ℵ0), è la cardinalità del numerabile. La questione dei rapporti fra ordinali e cardinali (che nel caso finito collimano) diventa sostanziale sotto l’ipotesi generale del continuo e nella possibilità di deciderla a partire dagli usuali assiomi della teoria. I risultati di K. Gödel del 1938 e di P. Cohen del 1963 hanno mostrato infatti che l’ipotesi del continuo è indipendente dagli altri assiomi della teoria ed è quindi possibile costruire diverse teorie degli insiemi. Occorre tuttavia osservare che nella pratica matematica, quando non ci si pongono problemi fondazionali e se si evita di riferirsi a insiemi che non siano sottoinsiemi propri di altri insiemi, la teoria degli insiemi è generalmente proposta e utilizzata in modo piuttosto informale e l’insieme è considerato un concetto primitivo non ulteriormente definibile. In questo senso, senza cioè ricorrere a un apparato assiomatico specifico, si parla di teoria ingenua degli insiemi, e tale risulta essere anche la teoria cantoriana.