nodi, teoria dei
nodi, teoria dei
nodi, teoria dei branca della topologia che studia la struttura dei nodi. Intuitivamente, un nodo può essere pensato come una corda senza spessore che viene annodata a piacimento nello spazio tridimensionale e poi chiusa saldandone insieme le due estremità. Formalmente, un nodo è una curva semplice chiusa nello spazio tridimensionale R3 e, da un punto di vista matematico, la teoria si occupa della immersione di tale varietà unidimensionale in R3. Gli studiosi della disciplina concentrano la loro attenzione su alcune sottoclassi di nodi, come quella dei nodi differenziabili (nodi che sono curve semplici chiuse e differenziabili) e quella dei nodi poligonali (nodi che sono unione di un numero finito di segmenti), per le quali è possibile formulare una teoria più ricca e interessante. La teoria si occupa del riconoscimento di nodi dello stesso tipo e della loro classificazione sulla base di invarianti. Dal punto di vista matematico, lo studio dei nodi vide le sue origini verso la fine del xviii secolo con A.Th. Vandermonde e C.F. Gauss. Un approccio più sistematico ebbe inizio un secolo più tardi, anche grazie a un’idea del fisico irlandese William Thomson (più noto col titolo nobiliare di Lord Kelvin), il quale ipotizzò un modello di atomo-vortice, sotto l’ipotesi che gli elementi chimici corrispondessero a nodi. Questa ipotesi spinse il suo collaboratore, il fisico inglese Peter Guthrie Tait (1831-1921), a impegnarsi in un massiccio lavoro di classificazione dei nodi, alla ricerca di una relazione tra le classi di nodi equivalenti e le tipologie degli atomi che individuano i diversi elementi chimici e i loro composti. I progressi più significativi si ebbero però soltanto nella seconda metà del xx secolo quando furono trovate numerose applicazioni in altre scienze come la fisica, la biologia e la chimica. In particolare la connessione con la fisica moderna venne trovata quando si riuscì a descrivere il polinomio di Alexander e il polinomio di Jones (→ nodo) nella forma di una funzione di ripartizione della meccanica statistica; si trovarono allora, soprattutto a opera di V. Jones, invarianti di nodi e di link strettamente connessi a problemi di meccanica statistica. A questi studi diede poi un particolare contributo E. Witten, che li inserì in un complessivo contesto teorico dando così origine a un settore di studi riguardante la teoria topologica dei campi quantizzati. Nonostante abbia origine da un problema di natura elementare, la teoria dei nodi coinvolge tecniche molto sofisticate che provengono da diverse aree della matematica. Lavori inerenti alla teoria dei nodi hanno valso a V. Jones, E. Witten e V. Drinfeld nel 1990 e a M. Kontsevič nel 1998 la Medaglia Fields.