teoria dei semigruppi
teoria dei semigruppi
Un semigruppo è un insieme con una operazione binaria * (comunemente detta moltiplicazione) che soddisfi la proprietà associativa: a*(b*c)=(a*b)*c. Un semigruppo è dunque una generalizzazione del concetto di gruppo, del quale si abbandona la richiesta di invertibilità degli elementi. Un semigruppo con identità è detto monoide. La teoria dei semigruppi è relativamente recente e ha cominciato a svilupparsi, in particolare nei suoi aspetti algebrici, a partire dagli anni Venti del secolo scorso. Solo alla fine degli anni Cinquanta essa ha conquistato uno stato di autonomia, con un vasto campo di problemi e legami con molte branche della matematica. In essa convergono alcune delle tecniche più importanti dell’algebra moderna (soprattutto la teoria dei gruppi e degli anelli) ma anche dell’analisi funzionale (semigruppi di operatori su spazi di Banach), della geometria differenziale (semigruppi di trasformazioni) e anche della teoria algebrica degli automi (semigruppi di automi). Un fatto, questo, che appare naturale a causa dell’enorme varietà di esempi di semigruppi tra i quali ricordiamo: insiemi di numeri chiusi per addizione o moltiplicazione, semigruppi di matrici, di funzioni rispetto al prodotto f*g(x)=f(x)g(x) ma semigruppi di applicazioni o endomorfismi rispetto all’operazione di composizione. Di particolare importanza sono proprio i semigruppi di trasformazioni di spazi dotati di strutture topologiche, quali gli spazi vettoriali topologici o anche di Banach. In questo caso si parla di teoria dei semigruppi di operatori (lineari o non linerari) e il suo sviluppo ha costituito uno stimolo essenziale alla crescita dell’analisi funzionale. Il risultato di principale importanza è in questo ambito il teorema di Hille-Yosida, che caratterizza completamente i semigruppi (regolari) a un parametro su spazi di Banach (ma anche più generali) in termini dei loro generatori. La teoria dei semigruppi di operatori ha trovato applicazione nello studio delle soluzioni di equazioni differenziali (anche alle derivate parziali), nella teoria dei processi stocastici (l’evoluzione temporale qui non è invertibile) e anche nella fisica matematica.
→ Automi e linguaggi formali; Equazioni funzionali; Stocastica