Galois, teoria di

Galois, teoria di

Galois, teoria di teoria algebrica che trae origine dallo studio delle proprietà di un’equazione algebrica in un’incognita ƒ(x) = 0 mediante l’esame di un opportuno gruppo di permutazioni (detto gruppo di Galois) associato all’equazione stessa. Sia K ⊆ C un campo e sia ƒ(x) un polinomio a coefficienti in K. Se L è il campo di spezzamento di ƒ su K, si definisce allora il gruppo di Galois dell’estensione L ⊇ K, indicato con il simbolo Gal(L, K), come il gruppo formato dagli automorfismi di L che fissano ogni elemento di K:

Tale gruppo è isomorfo a un opportuno gruppo di permutazioni sull’insieme delle radici del polinomio ƒ(x) e dipende solamente dal suo campo di spezzamento L.

Più in generale, tale gruppo risulta essere uno strumento fondamentale nello studio di una qualsiasi estensione normale L ⊇ K, nel qual caso esso viene definito in modo analogo a quanto fatto per un singolo polinomio ƒ. Il gruppo Gal(L, K) esprime, in termini gruppali, moltissime informazioni sull’estensione L ⊇ K e gode delle seguenti proprietà (teorema di corrispondenza di Galois):

• la cardinalità di Gal(L, K) coincide con il grado dell’estensione L ⊇ K;

• esiste una corrispondenza biunivoca Ψ: {estensioni di K contenute in L} → {sottogruppi di Gal(L, K)}, che associa a ogni campo F tale che K ⊆ F ⊆ L il gruppo di Galois Gal(L, F) associato all’estensione normale L ⊇ F;

• se F ⊇ K è un’estensione normale di K contenuta in L, allora Ψ(F) = Gal(L, F) è un sottogruppo normale di Gal(L, K) e vale l’isomorfismo di gruppi Gal(F, K) ≅ Gal(L, K)/Gal(L, F).

Un’ulteriore fondamentale proprietà dei gruppi di Galois è la seguente: se L è il campo di spezzamento di un polinomio ƒ(x), allora l’equazione ƒ(x) = 0 è risolubile per radicali (ossia mediante un numero finito di operazioni elementari ed estrazioni di radice effettuate sui coefficienti) se e solo se Gal(L, K) è risolubile come gruppo. Tale proprietà vale più in generale per ogni estensione normale L ⊇ K. In questo modo, la teoria di Galois consente di stabilire la non risolubilità per radicali dell’equazione algebrica generale in un’incognita di grado n > 4 (→ Abel-Ruffini, teorema di): infatti il gruppo di Galois associato al polinomio generale di grado n è il → gruppo simmetrico S_n, che non è risolubile se n > 4. La teoria di Galois permette anche di fornire risposta ai problemi di → costruzione con riga e compasso di una grandezza geometrica. Con i dovuti accorgimenti, la teoria di Galois può essere estesa a campi di caratteristica arbitraria.