Neumann-Bernays-Godel, teoria di

Neumann-Bernays-Godel, teoria di

Neumann-Bernays-Gödel, teoria di o teoria NBG, sistema di assiomi per la teoria degli insiemi che si affianca a un’altra sistemazione assiomatica, la teoria di → Zermelo-Fraenkel (ZF), a cui è logicamente equivalente. La teoria fu originariamente proposta da J. von Neumann nella sua tesi di laurea del 1925, con lo scopo di rendere finito lo schema di assiomi ZF, fu quindi perfezionata da P. Bernays e ulteriormente completata e semplificata da K. Gödel nel 1940. Il suo tratto distintivo è la distinzione tra due tipi di raggruppamenti concettuali: gli insiemi, che possono essere elementi o sottoinsiemi di altri insiemi, e le classi proprie, che non possono essere invece elementi di altri raggruppamenti e non possono quindi trovarsi alla sinistra del predicato di appartenenza ∈. Si intendono escluse costruzioni quali quelle di «insieme di tutti gli insiemi» o «classe di tutte le classi», perché la teoria mira a evitare antinomie connesse con la autoreferenzialità, quale per esempio l’antinomia di Russell, che diede origine alla crisi dei fondamenti della matematica all’inizio del Novecento (→ fondamenti, crisi dei). Formalmente, la teoria NBG adotta gli stessi termini primitivi e le stesse formule ben formate di ZF e pone alcune definizioni:

• due oggetti (classi) con gli stessi elementi, indipendentemente dall’ordine, sono identici: a = b sta per ∀x(x ∈ a ⇔ x ∈ b);

• un oggetto è un insieme (in tedesco Menge) se e solo se appartiene a un altro oggetto: M(x) sta per Ǝy(x ∈ y), dove x è un termine in cui non occorre y. Gli insiemi risultano in questo modo dei particolari tipi di classi;

• esistono classi che non sono insiemi, le classi proprie: Pr(x) sta per ￢M(x). In particolare, la classe V di tutti gli insiemi è una classe propria.

In alcune varianti del sistema NBG le variabili relative a classi proprie sono indicate con lettere maiuscole e quelle relative a classi che sono insiemi sono indicate con lettere minuscole, rendendo così più agevole la formulazione degli assiomi, che sono:

• NBG0 (schema d’assiomi di astrazione): se A(x) è una formula predicativa di NBG con x libera, Ǝy∀x(x ∈ y ⇔ M(x) ∧ A(x)). Qualunque sia la formula predicativa, esiste perciò una classe formata da tutti gli insiemi per cui A è vera. In particolare, esiste la classe V di tutti gli insiemi. A partire da questo assioma si dimostra che la classe di tutti gli insiemi che non appartengono a sé stessi, che B. Russell aveva dimostrato provocare una contraddizione nella teoria degli insiemi, è una classe propria (→ Russell, antinomia di);

• NBG1 (assioma di estensionalità): due classi uguali hanno le medesime proprietà:

• NBG2 - NBG10 sono formalmente identici agli assiomi ZF2 - ZF10 salvo che, tranne per il quantificatore universale in ZF7, sono ristretti agli insiemi.

È stato dimostrato che tutti gli assiomi di NBG (compreso NBG0, qui presentato in forma di schema) possono essere resi in forma finita. Occorre notare che in questo sistema assiomatico la distinzione tra classi proprie e insiemi segue un criterio di “grandezza” ed è possibile attribuire un numero cardinale soltanto agli insiemi.

Una estensione del sistema di assiomi NBG è la teoria di → Morse-Kelley (indicata anche come teoria MK); in essa, nell’assioma NBG0, la formula A(x) può essere una qualunque formula ben formata e non necessariamente una formula predicativa: in questo modo si possono definire classi con formule le cui variabili vincolate si riferiscono all’universo delle classi.