TEORIE FORMALIZZATE

di Aldo Marruccelli - Enciclopedia Italiana - IV Appendice (1981)

TEORIE FORMALIZZATE

Aldo Marruccelli

. Una t. deduttiva T è un insieme di enunciati espressi in un determinato linguaggio (ordinario o simbolico) suscettibile di interpretazioni su opportuni insiemi di oggetti detti "universi dell'interpretazione". Essa può essere caratterizzata sintatticamente e semanticamente. Nel primo caso T è costituita da tutti gli enunciati logicamente deducibili da un insieme di enunciati privilegiati detti assiomi di T; nel secondo caso è costituita da tutti gli enunciati che risultano veri sotto una certa interpretazione. Si parla di "t. f. in senso stretto" (o anche di "sistema formale" o "formalismo") quando T è costituita soltanto dal suo linguaggio simbolico, dal suo apparato deduttivo (insieme degli assiomi e regole di deduzione) e dai teoremi derivabili in essa, senza alcun riferimento esterno. Un sistema formale è insomma un puro calcolo formale tra i suoi simboli. Si parla di "t. f. in senso ampio" quando si associa al sistema formale T la sua interpretazione in un universo, quando cioè si aggiungono considerazioni semantiche a quelle sintattiche.

Ordinariamente nella costruzione di una t. f. T (anche se matematica) si prende lo spunto da una situazione concreta o da una t. intuitiva preesistente. Sorgono allora varie questioni sia di carattere sintattico sia semantico. Gli assiomi posti a fondamento di T sono indipendenti fra loro? (cioè sono tutti indispensabili, o qualcuno è deducibile dagli altri?). È possibile in base a essi risolvere qualunque problema formulabile in T? (in termini più precisi, T è " sintatticamente completa"?). È certo che dagli assiomi di T non si possono dedurre enunciati tra loro contraddittori (cioè, T è coerente?). E, tra le questioni di carattere semantico, il settore della realtà o la t. intuitiva da cui eravamo partiti è veramente modello della t. f. T? Questa possiede altri modelli oltre l'originario? Se sì, questi altri modelli sono strutturalmente simili a quello? Gli enunciati veri nell'ambito del soggetto originario sono tutti deducibili logicamente all'interno di T? (cioè, T è "semanticamente completa" ?).

Questi e altri problemi sono affrontati dalla logica matematica, che soprattutto mediante il teorema d'incompletezza sintattica di K. Gödel e i suoi corollari, sancisce in modo definitivo quali sono le limitazioni connesse con la natura stessa delle t. f. (v. logica matematica: Principi di logica matematica; metamatematica; modelli, teoria dei, in questa Appendice).

Bibl.: S. C. Kleene, Introduction to metamathematics, Amsterdam 1952; E. Agazzi, Introduzione ai problemi dell'assiomatica, Milano 1961; G. T. Kneebone, Mathematical logic and foundations of mathematics, Londra 1963; A. Tarski, Introduction to logic and to methodology of deductive sciences, Oxford 1965 (trad. it. di E. Ballo e S. Bozzo, Introduzione alla logica, Milano 1969); M.L. Dalla Chiara Scabia, Modelli sintattici e semantici delle teorie elementari, Milano 1968; A. Marruccelli, Teorie formalizzate e logica matematica, Roma 1975.

Vedi anche
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