TERMOELASTICITÀ
TERMOELASTICITÀ
. Ramo della fisica matematica che si occupa di determinare le deformazioni e lo stato di tensione in un solido elastico sede anche di una propagazione di calore.
1. La definizione classica di solido elastico si riferisce a trasformazioni isoterme o adiabatiche; cominciano quindi difficoltà concettuali fin dal momento in cui si deve stabilire cosa propriamente si intenda per solido termoelastico. La definizione più semplice e spontanea è ancora quella che si basa sul postulato che valgano, particella per particella, i due classici principi della termodinamica quali si scrivono per trasformazioni reversibili (solidi a trasformazioni localmente reversibili). Nonostante che il lavoro specifico degli sforzi non sia più un differenziale esatto, questa ipotesi consente di aggiungere, con l'intervento dell'energia libera, alle equazioni per la statica o dinamica dei mezzi continui e a quella per la propagazione del calore, alcune relazioni tra sforzi interni, temperatura e deformazione atte a rendere il problema determinato.
La deformazione è causa essa stessa di produzione o assorbimento di calore, che si abbina a quello dovuto alle sorgenti esterne al corpo; e la propagazione del calore è essa stessa causa di deformazione, e perciò di alterazione dello stato di tensione interna in aggiunta a quello prodotto dalle forze esterne. Il problema, dal punto di vista sia teorico sia applicativo, si presenta perciò come estremamente difficile, e solo l'intervento di ipotesi semplificative suggerite dall'esperienza consente di pervenire a soluzioni complete.
Con pochissime eccezioni, tutti i lavori esistenti relativi a problemi concreti adottano l'ipotesi di solidi omogenei, isotropi, e di trasformazioni linearizzabili. Ciò consente intanto, per quanto riguarda gli sforzi, di tradurre l'effetto della variazione di temperatura semplicemente in uno sforzo isotropo aggiuntivo; inoltre, di ritenere costanti i coefficienti termici ed elastici, e, nel caso di problemi di statica stazionaria, di giungere alla precisazione della temperatura locale indipendentemente dalla conoscenza dello spostamento. Quest'ultimo viene poi determinato da un sistema di equazioni del tipo di quello della elasticità isoterma, salvo l'intervento di termini dipendenti dalla sola temperatura, perciò noti. Data la linearità del sistema, l'aggiunta a una soluzione particolare di una soluzione di statica isoterma consente di soddisfare, almeno in linea di principio, alle più svariate condizioni al contorno.
In tali ipotesi semplificative svariati problemi concreti hanno potuto essere risolti. Innanzi tutto molti problemi relativi a solidi di tali dimensioni da poterli ritenere estesi a un intero semispazio o magari a tutto lo spazio, perché in tali condizioni la soluzione, una volta determinata la distribuzione della temperatura, può essere ricondotta alla integrazione di un'equazione di Poisson. Tale procedimento è suscettibile di essere adottato, con l'aggiunta di soluzioni di statica isoterma, in diverse altre questioni, quali quelle relative a sfere e cilindri. In generale la soluzione completa di ogni problema termoelastico è ricondotta alla determinazione di tre funzioni potenziali.
Giova anche citare, per il suo interesse sia teorico sia pratico, la soluzione di problemi relativi alle piastre. Dal punto di vista tecnico ha anche grande interesse lo studio delle modificazioni indotte da una variazione di temperatura nelle condizioni di "instabilità alla Eulero" delle travi sottili. Questo, e analoghi problemi relativi alle piastre sottili, hanno trovato sinora soltanto soluzioni più o meno approssimate in casi particolari.
Nel caso di trasformazioni dinamiche e non stazionarie, si aggiungono di regola, alla condizione di linearità, le ulteriori ipotesi semplificative, suggerite già da J. M. C. Duhamel, che siano trascurabili, nell'equazione degli spostamenti, le forze di inerzia, e, nell'equazione del calore, il termine di accoppiamento con la deformazione. Con ciò si ottiene in primo luogo di poter ancora risolvere il problema termico indipendentemente da quello relativo allo spostamento; e poi di determinare quest'ultimo con un sistema di equazioni quasi-statiche.
È a problemi termoelastici non stazionarî, per lo più generalizzazioni, in vario modo, degli analoghi problemi di statica stazionaria, che è attualmente rivolta la massima attenzione nelle ipotesi su accennate. Ma occorre anche rilevare che in questi ultimissimi tempi sono apparsi alcuni lavori nei quali, affrontandosi problemi relativi a "urto" termico, cioè inerenti ad un brusco riscaldamento di un punto o di una zona del contorno del solido, non sono più trascurate le forze di inerzia, pur mantenendosi l'ipotesi che rende il problema termico indipendente da quello elastico. Né manca qualche lavoro riferentesi al problema completo. Tuttavia, nell'un caso e nell'altro, la soluzione è spesso data formalmente, quale trasformata di Fourier della soluzione effettiva.
Si può infine accennare al problema della propagazione di onde termoelastiche, che, dopo le classiche ricerche di Duhem, pare abbia incontrato ben poco interesse, se si riferiscono ad esso solo pochi lavori relativi all'assorbimento termico di onde elastiche piane o superficiali.
2. Le prime ricerche sulla termoelasticità sembra siano quelle contenute nei lavori di J. M. C. Duhamel [Mem. dil'ers savant, (2), V, 1838] apparsi pochi anni dopo la classica memoria sulla elasticità di Poisson. In essi con considerazioni di carattere molecolare, vengono tra l'altro stabilite le relazioni fondamentali tra sforzi, temperatura e deformazione. Quasi contemporaneamente, ma con considerazioni diverse, ad analoghe relazioni giunge F. Neumann [Abh. Akad. Wiss. Berlin, 1841]. Pochi anni dopo, Lord Kelvin [Quart. Journ. Math., I, 1855] le deduce dai principî classici della termodinamica.
Sempre nel secolo scorso diversi lavori si riferiscono alla termoelasticità, sia per quanto riguarda le equazioni fondamentali [J. C. Maxwell, Trans. R. Soc. Edin., XX, 1853; M. Planck, Gleichgewichtzustände isotroper Körper in verschiedenen Temperaturen, Monaco 1880; J. Hopkinson, Mess. of Math., VIII, 1879; P. Alibrandi, Giorn. Mat., XXXVIII, 1900] sia le applicazioni ai problemi semplici [Duhamel, loc. cit.; C. W. Borchardt. Monatsber. Akad. Wiss. Berlin, XX, 1873; Lord Rayleigh, Phil. Mag. (6), I, 1901; E. Almansi. Atti Acc. Sc. Torino, XXXII, 1879; Hopkinson, loc. cit., ecc.] risolti anche con l'uso di funzioni potenziali (Borchardt, Almansi).
J. N. Goodier [Phil. Mag. (7), XXIII, 1937] ha ripreso più recentemente e sistematicamente approfondito quest'ultimo procedimento per la integrazione delle equazioni fondamentali, specie in rapporto alle deformazioni e allo stato di tensione in un solido indefinito conseguente al riscaldamento (o raffreddamento) uniforme di una sua parte (nucleo termico). Applicazioni sono state date da N. O. Myklestad (Journ. Appl. Mech., IX, 1942] e, in epoca più recente, per i solidi semi-infiniti. da R. D. Mindlin e D. H. Cheng [Journ Appl. Phys., XXI, 1950].
Dai lavori di Goodier si può dire abbia preso inizio l'attuale vasto movimento di ricerca, che si è sviluppato tuttavia in modo massiccio solo dopo l'ultima guerra. Ciò che è dovuto, probabilmente, all'interesse che la termoelasticità presenta per la moderna aerodinamica. Tra gli studiosi attuali si possono qui citare, oltre a Goodier stesso, E. Sternberg e coll., M. A. Biot, E. Melan, H. Parkus, W. Novacki, B. E. Gatewood, ecc.
Alla termoelasticità non linearizzata è stata dedicata relativamente poca attenzione, evidentemente a causa delle formidabili difficoltà che presenta. Oltre alle considerazioni al riguardo che si trovano in lavori prevalentemente dedicati alla elasticità finita [P. Duhem, Ann. Ec. Norm. (3), XXI, 1904; A. Signorini, Ann. Mat. pura e appl. (4), XXII, 1943; ibid., XXXIX, 1955; R. Kappus, ZAMM, 1939; L. Brillouin. Les tenseurs en mécanique et en élasticité, Parigi 1939; C. Tolotti, Mem. R. Acc. Italia, XIV, 1943] sono dedicati alla termoelasticità non linearizzata recenti lavori di B. R. Seth [Arch. Mat. Stöss., IX, 1957], A. Signorini [Ann. Mat. pura e appl. (4), L, 1960], Boa The Chu [Tech. Rep. Brown Univ. (1957)].
Bibl.: B. E. Gatewood, Thermal stresses, New York 1957; S. Timoshenko and J. N. Goodier, Theory of elasticity, New York 1951; E. Melan und H. Parkus, Wärmespannungen infolge stationärer Temperaturfelder, Vienna 1953; H. Parkus, Instationäre Wärmespannungen, Vienna 1959; V. A. Boley-J. H. Weiner, Theory of thermal stresses, New York 1960.