TORSIONE

TORSIONE

. Come la flessione o prima curvatura di una curva misura la rapidità, con cui la curva devia dall'andamento rettilineo, la torsione (detta anche seconda curvatura) ci dà l'idea delle deviazioni della curva, in ognuno dei suoi punti, dall'andamento piano. La flessione è data dalla rapidità con cui varia la direzione della tangente in un punto, mobile sulla curva, misurata rispetto alla rapidità con cui varia la lunghezza dell'arco descritto dal punto mobile. Per la torsione si considera invece la rapidità con cui varia la giacitura del piano osculatore o, ciò che è lo stesso, la direzione del vettore binormale. Precisamente, se P e Q sono due punti di una curva, Δs la lunghezza dell'arco da loro individuato e ψ l'angolo, misurato in radianti, formato dai vettori binormali in P e Q, il rapporto

è la torsione media della curva lungo l'arco considerato; il limite, se esiste,

P essendo mantenuto fermo, è la torsione della curva in P.

La torsione così definita è un numero non negativo, il cui valore è dato dal valore assoluto del numero 1/ρ che compare nelle formule di Frenet (v. curve, n. 4); perciò, ove le si voglia attribuire un segno, come valore algebrico della torsione si assume precisamente il numero 1/ρ. Allora il segno della torsione ha un notevole significato geometrico: la curva è sinistrorsa o destrorsa secondo che la torsione è, rispettivamente, positiva o negativa.

Negli sviluppi moderni della matematica il significato della parola torsione si è venuto ampliando: nella topologia si considerano i coefficienti di torsione di una varietà (H. Poincaré, Second complement à l'Analysis Situs, in Proceedings of the London Mathematical Society, XXXII, 1902, pp. 277-308; le varietà per cui i coefficienti di torsione non sono tutti nulli sono unilatere); nella geometria algebrica si considerano le superficie dotate di torsione topologica, le quali coincidono con le superficie a divisione non univoca delle curve su essa assegnate (F. Severi, Complementi alla teoria della base per la totalità delle curve di una superficie algebrica, in Rend. del Circolo matematico di Palermo, XXX, 1910, pp. 265-288); nella geometria differenziale infine si incontrano gli spazî anolonomi dotati di torsione del Cartan (v., p. es., E. Cartan, Les récentes généralisations de la notion d'espace, in Bull. des sc. math., XLVIII, 1924).