trasformazione topologica
trasformazione topologica
trasformazione topologica in termini non formali, trasformazione che agisce su un oggetto piegandolo, torcendolo, dilatandolo o comprimendolo arbitrariamente, senza però produrre lacerazioni, buchi, e a condizione che nella trasformazione “punti vicini” si trasformino in “punti vicini”, pur non essendo tale concetto di “vicinanza” necessariamente espresso in termini numerici, cioè di distanza. In una trasformazione topologica il taglio è consentito solo per rendere possibile una operazione altrimenti impossibile, a condizione che poi le estremità tagliate siano incollate in modo da mantenere la contiguità dei punti (→ identificazione). In una trasformazione topologica non si mantengono generalmente né le ampiezze, né le lunghezze, né l’allineamento dei punti su una retta, né la forma; si conservano però le relazioni di appartenenza e d’ordine tra i punti di una linea.
Due figure ottenute l’una dall’altra con una trasformazione topologica sono dette topologicamente equivalenti. Tali sono, per esempio, un cerchio e un’ellisse, un triangolo e un quadrato, un cubo e una sfera. Non sono topologicamente equivalenti, per esempio, una corona circolare e un cerchio, un toro e un ellissoide. La nozione di trasformazione topologica è precisata con la definizione di → omeomorfismo. Dati gli spazi topologici X e Y, si dice omeomorfismo tra i due spazi un’applicazione ƒ: X → Y che sia biunivoca e bicontinua (siano cioè continue sia ƒ, sia ƒ −1). Gli omeomorfismi di uno spazio topologico formano un gruppo. Una proprietà P valida in un certo spazio X è detta proprietà topologica se è valida in ogni spazio omeomorfo a X. In altre parole, una proprietà topologica è una proprietà che rimane valida effettuando una trasformazione topologica. Sono esempi di proprietà topologiche la connessione di una figura e la caratteristica di Eulero (→ Eulero, relazione di).