triangolo sferico
triangolo sferico
triangolo sferico porzione di una superficie sferica delimitata da tre archi di circonferenza massima che congiungono a due a due tre punti non appartenenti alla stessa circonferenza massima. Il triangolo sferico è un poligono sferico di tre lati: isoscele se ha due lati uguali; regolare se ha tutti i tre lati uguali. Per definire univocamente il triangolo sferico, va considerato, per ognuno degli archi di circonferenza massima individuati da due punti, quello di lunghezza minore. La lunghezza di ciascun lato è data dalla misura in radianti del corrispondente angolo al centro, moltiplicata per la misura del raggio r della sfera. Un triangolo sferico può essere definito anche come intersezione di una superficie sferica con un → triedro avente il vertice nel centro della sfera. Le ampiezze degli angoli di un triangolo sferico sono date dalle ampiezze dei → diedri individuati dai semicerchi massimi su cui si trovano i lati degli angoli. La somma delle ampiezze α, β, γ degli angoli interni di un triangolo sferico, differentemente dal triangolo in un piano euclideo, è variabile ed è sempre maggiore di π (o di 180°) e può essere al massimo pari a 540° (nel triangolo sferico trirettangolo). La quantità positiva ε = α + β + γ − π è detta → eccesso sferico; espresso in radianti, è la differenza tra la somma degli angoli α, β, γ e un angolo piatto. Un triangolo sferico è detto rettangolo, birettangolo, trirettangolo se ha rispettivamente uno, due o tutti e tre gli angoli retti. L’area di un triangolo sferico è data dal prodotto del suo eccesso sferico per il quadrato del raggio: A = εr 2 (teorema di Girard, che è conseguenza del teorema di Cavalieri, relativamente al triangolo sferico e a un fuso appartenente alla stessa sfera e avente sezione normale uguale alla metà dell’eccesso sferico del triangolo). Tutti i triangoli sferici di una stessa sfera di uguale eccesso sferico sono perciò equivalenti e, nella geometria della sfera, triangoli simili (con ordinatamente congruenti gli angoli) sono anche congruenti. Fra i triangoli sferici è notevole il triangolo trirettangolo, che ha tre angoli retti ed è equilatero, ognuno dei suoi angoli e ognuno dei suoi lati misura π/2 e la sua area è πr 2/2: se il raggio è unitario, la sua area è π/2.