TRIANGOLO

TRIANGOLO (gr. τρίγωνον; lat. triangulus; fr. e ingl. triangle; sp. triángulo; ted. Dreieck)

1. È il poligono di tre lati: esso ha tre vertici e tre angoli. I tre lati soddisfano a una limitazione di disuguaglianza: ciascuno di essi deve essere minore della somma degli altri due, e perciò maggiore della loro differenza. I tre angoli soddisfano invece ad una relazione d'uguaglianza: la loro somma è uguale a due retti.

Rispetto alla lunghezza dei lati, i triangoli si dividono (fig. 1) in: equilateri (aventi tre lati uguali), isosceli (aventi due lati uguali) scaleni (aventi tutti i lati disuguali). Rispetto alla specie degli angoli si dividono (fig. 2) in: acutangoli (aventi i tre angoli acuti), rettangoli (aventi un angolo retto e gli altri due acuti), ottusangoli (aventi un angolo ottuso e gli altri due acuti). Nei triangoli isosceli si suol chiamare base il lato disuguale, angolo al vertice l'angolo opposto, angoli alla base gli altri due. Nei triangoli rettangoli si dice ipotenusa il lato opposto all'angolo retto: gli altri due lati si dicono cateti.

A qualsiasi triangolo si può iscrivere o circoscrivere un cerchio: il centro del cerchio iscritto (detto da taluni incentro), quale punto equidistante dai tre lati, è comune alle tre bisettrici degli angoli (fig. 6), mentre il centro del cerchio circoscritto (circocentro), quale punto equidistante dai tre vertici, è comune agli assi dei tre lati (fig. 3). Altri punti notevoli del triangolo sono (fig. 4): il baricentro (punto comune alle tre mediane, cioè alle congiungenti i vertici coi punti medî dei lati opposti: esso si trova a un terzo di ciascuna mediana), l'ortocentro (punto comune alle tre altezze, cioè alle perpendicolari abbassate dai vertici sui lati opposti), ed altri, di cui tratta la geometria del triangolo (v. appresso, n. 9).

Se si prolunga un lato d'un triangolo oltre un vertice, si ha un angolo (detto esterno) che è adiacente a un angolo (interno) del triangolo. L'angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti, e più precisamente è uguale alla loro somma (fig. 5). Vi sono tre angoli esterni, in generale diversi tra loro: la loro somma è uguale a quattro retti (come si ha per un poligono a un numero qualsiasi di lati).

Il punto comune alle bisettrici di due angoli esterni è centro d'un cerchio, che si dice ex-iscritto al triangolo, e risulta tangente a un lato e ai prolungamenti degli altri due. Per ogni triangolo vi sono tre cerchi ex-iscritti (fig. 6).

L'uguaglianza o la disuguaglianza dei lati è legata ad analoghe relazioni tra gli angoli, e viceversa. In particolare, se due lati d'un triangolo sono uguali, sono uguali anche i due angoli opposti e viceversa: questa è la proprietà caratteristica del triangolo isoscele (uguaglianza degli angoli alla base). Segue che i triangoli equilateri sono anche equiangoli (e ciascun angolo misura 60°) e che i triangoli scaleni hanno i tre angoli disuguali; e sussistono le rispettive proprietà inverse. Più precisamente, a lato maggiore corrisponde angolo (opposto) maggiore, e viceversa.

2. Dei sei elementi (lati e angoli) d'un triangolo, soltanto tre (non tutti angoli) sono indipendenti, cioè si possono assumere, entro certi limiti, ad arbitrio: 1. i tre lati, oppure: 2. due lati e un angolo; oppure: 3. un lato e due angoli. Nel primo caso si ha la limitazione che ciascun lato deve essere minore della somma degli altri due: nel terzo caso si ha quella che la somma dei due angoli deve risultare minore di due retti.

Quanto s'è veduto si traduce nei criterî d'uguaglianza che mostrano come un triangolo venga individuato quando, in modo determinato, si diano tre dei suoi elementi. Tali criterî dicono che per verificare se due triangoli sono uguali (cioè se hanno rispettivamente uguali tutti i lati e tutti gli angoli) basta constatare l'uguaglianza dei seguenti loro elementi: 1. due lati e l'angolo compreso; oppure: 2. un lato e due angoli ugualmente posti rispetto a questo; oppure: 3. i tre lati. Il caso dell'uguaglianza di due lati e d'un angolo non compreso tra questi è il cosiddetto caso ambiguo: se ne può ricavare l'uguaglianza dei due triangoli se l'altro angolo non compreso è della stessa specie (cioè acuto, retto od ottuso) in ambedue, oppure se gli angoli uguali sono opposti ai lati maggiori. La prima condizione si verifica sempre, ad esempio, nei triangoli rettangoli, dando luogo a criterî speciali.

3. Il calcolo effettivo degli elementi d'un triangolo, in funzione di quelli dati, viene compiuto per mezzo delle formule della trigonometria (v.). Si tratta delle seguenti relazioni fondamentali:

con le altre due che derivano da quest'ultima, permutando circolarmente a, b, c; α, β, γ. In queste formule, come d'uso, a, b, c rappresentano le lunghezze dei tre lati, α, β, γ gli angoli rispettivamente opposti.

Il teorema di Carnot si può anche enunciare e dimostrare per via puramente geometrica. Nel caso del triangolo rettangolo esso si riduce al celebre teorema di Pitagora:

ossia: "In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti".

4. Se si dànno i tre angoli, e non i lati, d'un triangolo, se ne definisce la forma, non la grandezza. Triangoli aventi gli angoli rispettivamente uguali hanno i lati proporzionali (prendendo come omologhi quelli opposti ad angoli uguali) e si dicono simili (fig. 7). Viceversa: dalla proporzionalità dei lati si può dedurre l'uguaglianza degli angoli; e ancora: dall'uguaglianza d'una sola coppia di angoli e dalla proporzionalità dei soli lati che li comprendono si può dedurre pure che i due triangoli sono simili. Le proposizioni or ora enunciate costituiscono i criterî di similitudine. C'è anche un quarto criterio, comprendente il caso ambiguo, parallelamente a quanto s'è veduto per i criterî d'uguaglianza.

Dalla nozione di similitudine si deduce assai facilmente la seguente proposizione: l'altezza abbassata sull'ipotenusa d'un triangolo rettangolo divide questo in due triangoli che sono simili tra loro e al dato, cosicché: a) l'altezza è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa; b) un cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione su di essa. Dall'ultima parte della proposizione si deduce immediatamente il teorema di Pitagora (v.), e si hanno motivi per ritenere che questa fosse la via seguita dalla dimostrazione pitagorica.

5. L'area del triangolo è uguale alla metà del prodotto della base per l'altezza; ovvero, in forma trigonometrica:

(semiprodotto di due lati per il seno dell'angolo compreso). In funzione dei tre lati l'area s'esprime con la formula di Erone:

dove p è il semiperimetro.

In geometria analitica si dà un'espressione dell'area in funzione delle coordinate (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) dei tre vertici:

L'annullarsi del determinante dà la condizione d'allineamento dei tre punti.

Altre formule di carattere metrico sono le seguenti:

con le altre due analoghe che dànno le altezze h_a, h_b, h_c in funzione dei lati - formule strettamente legate a quella di Erone -;

con le altre due analoghe, che dànno le lunghezze b_a, b_b, b_c delle bisettrici;

con le altre due analoghe, che dànno le tre mediane m_a, m_b, m_c;

che dà il raggio del cerchio circoscritto al triangolo.

6. Sulla costruzione di triangoli soddisfacenti a date condizioni, si possono proporre problemi in grandissimo numero. Vengono dati tre elementi (non tutti angoli), ovvero altri elementi, legati al triangolo, che comunque equivalgano a quelli; e in base a tali dati occorre costruire il triangolo. Il problema più semplice si ha se vengon dati i tre lati: se ne ha un caso particolare se il triangolo da costruire deve essere equilatero. In altri problemi vengon dati anche angoli, mediane, altezze, bisettrici, ecc., convenientemente scelti; qualche volta si particolarizza la specie del triangolo da costruire: altra volta, infine, si suppone già dato il triangolo e si chiede di costruire qualche elemento ad esso legato.

Si rimanda chi desideri maggiori particolari alle opere speciali indicate nella bibliografia e si sviluppa qui soltanto un esempio con la risoluzione del problema: "costruire il triangolo date le tre mediane".

Si supponga costruito il triangolo ABC soddisfacente al problema, e sia O il punto d'intersezione delle tre mediane (fig. 8). Poiché ogni mediana viene divisa da O in due terzi e un terzo, si vede subito che il parallelogrammo AOBD, avente per lati AO, OB ha la diagonale OD = CO. Segue che, costruito il parallelogrammo avente per lati i due terzi di due mediane e una delle diagonali uguale ai due terzi dell'altra mediana (sia il parallelogrammo AOBD), si può subito, prolungando di altrettanto la diagonale DO, trovare il terzo vertice C del triangolo ABC richiesto. Quanto alla costruzione del parallelogrammo AOBD, si osservi che il problema di costruirne una metà (ad es., ADO) è lo stesso della costruzione d'un triangolo di cui sian dati i tre lati.

7. La considerazione del triangolo, e delle sue prime proprietà, risale senza dubbio ai tempi più antichi.

A Talete di Mileto (600 a. C.) si attribuisce la proprietà caratteristica del triangolo isoscele, e, secondo la tradizione, anche l'uso pratico, per la triangolazione, del secondo criterio d'uguaglianza (dati un lato e due angoli).

Sembra antichissima la conoscenza del teorema di Pitagora, almeno per casi particolari: una dimostrazione generale, fondata forse sull'uso delle proporzioni, sarebbe dovuta a Pitagora. Alla scuola pitagorica viene pure attribuito, per il caso generale, il teorema sulla somma degli angoli del triangolo.

Negli Elementi d'Euclide (verso il 300 a. C.) si trovano già pressoché tutte le proprietà essenziali dei triangoli. Conformemente all'ordinamento generale del Libro I, appaiono ivi nettamente separate le proprietà indipendenti dal postulato delle parallele (ad es., i criterî d'uguaglianza) dalle proprietà che da detto postulato dipendono (teorema sulla somma degli angoli e sull'angolo esterno come somma dei due interni opposti: prop. 32). In molte trattazioni moderne si preferisce invece ricorrere al teorema sulla somma degli angoli (e quindi al postulato delle parallele) per estendere il secondo criterio d'uguaglianza dei triangoli al caso in cui uno dei due angoli dati sia opposto al lato dato. Euclide evita ciò ricorrendo al teorema: "un angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni opposti" (prop. 16), che dimostra indipendentemente dal postulato delle parallele e da cui ricava subito (prop. 17) che la somma di due angoli d'un triangolo, comunque presi, è minore di due retti. Di qui è stato poi ricavato (G. Saccheri, A.-M. Legendre) che la somma dei tre angoli d'un triangolo non può superare due retti: sempre indipendentemente dal postulato sopra menzionato, ma ricorrendo all'infinità della retta.

Va ricordato a questo proposito il teorema detto di Saccheri-Legendre, affermante che, se esiste un triangolo la somma dei cui angoli sia uguale a due retti, la stessa proprietà risulta dimostrata in generale per qualunque triangolo. A questo teorema si ricollegano i tentativi rivolti in tempi recenti (C. F. Gauss, ecc.) alla verifica del postulato delle parallele per via sperimentale, ricorrendo alla misura degli angoli di triangoli sulla Terra, o negli spazî interstellari (misura della parallasse).

8. Tra le aggiunte più notevoli portate in tempi moderni alle proprietà del triangolo va citato anzitutto il teorema dei triangoli omologici, dovuto a G. Desargues (1639): "Se due triangoli situati in un piano sono così riferiti, che i lati dell'uno seghino i corrispondenti lati dell'altro in tre punti d'una stessa retta, le rette congiungenti i vertici dell'uno coi corrispondenti vertici dell'altro passano per uno stesso punto (e reciprocamente)". Tale teorema diviene il fondamento della geometria proiettiva permettendo di definire, con C. G. C. v. Staudt, il gruppo armonico e quindi la proiettività (v. geometria, n. 23).

9. In tempi recenti s'è proceduto a uno sviluppo minuto, indagando su punti e linee che siano funzioni degli elementi del triangolo. Si tratta della cosiddetta "geometria del triangolo" che invero, se spinta troppo oltre, sembrerebbe meritare l'appunto ironico di H. Poincark, che denominò i suoi cultori "microbi della scienza". Tuttavia i primi fatti presentano un reale interesse, e sono stati oggetto di ricerca d'illustri matematici. È anche notevole la tendenza a inquadrare i risultati in una visione proiettiva d'insieme.

Per dare un'idea delle prime proprietà di questa geometria del triangolo, basterà citare quelle che più direttamente si riferiscono ai punti notevoli comunemente noti. Così: l'ortocentro, il baricentro e il circocentro sono allineati, e la distanza tra i due primi punti è doppia di quella tra il secondo e il terzo (teorema di Eulero, 1765). In ogni triangolo i punti medî dei lati, i piedi delle altezze e i punti medî dei segmenti di esse, compresi tra il vertice e l'ortocentro, appartengono a una circonferenza (detta di K. W. Feuerbach o dei nove punti). Molte altre proprietà si ricollegano a questo cerchio, la cui esistenza si può anche ricavare come caso particolare della cosiddetta conica dei nove punti, luogo dei centri delle coniche d'un fascio.

I piedi delle altezze d'un triangolo determinano il triangolo ortico i punti d'incontro dei lati del triangolo con quelli (opposti) del suo triangolo ortico appartengono a una retta (asse ortico).

I piedi delle perpendicolari abbassate da un punto d'una circonferenza sui lati d'un triangolo iscritto sono in linea retta (cosiddetto "teorema di R. Simson", che, secondo M. Cantor, è invece dovuto a W. Wallace [1768-1843]).

Va poi avvertito che sono moltissimi i punti e gli elementi notevoli che portano il nome del loro scopritore: basterà, tra la grande quantità, citare il punto e la retta di E. Lemoine, che sono centro e asse di un'omologia in cui si corrispondono il triangol0 dato e il triangolo delle tangenti condotte per i vertici al cerchio circoscritto; l'ellisse di J. Steiner, che è quella circoscritta al triangolo e avente per centro il baricentro del triangolo: essa ha comune col cerchio circoscritto un quarto punto, detto punto di Steiner. A questa ellisse si ricollega la seguente proprietà notevole: Le parallele condotte da un punto dell'ellisse di Steiner alle mediane del triangolo incontrano i lati opposti in tre punti allineati (teorema di E. Cesaro).

Bibl.: Per le proprietà generali del triangolo si vedano i trattati di geometria elementare. Per i problemi costruttivi, v. A. Sabbatini, Sui metodi elementari per la risoluzione dei problemi geometrici, in Questioni riguardanti le matematiche elementari, raccolte e coordinate da F. Enriques, parte 2^a, Bologna 1926; inoltre: J. Petersen, metodi e teorie per la risoluzione dei problemi di costruzioni geometriche, Copenaghen 1882; R. Bettazzi, La risoluzione dei problemi numerici e geometrici, Roma 1893. - Per la trattazione euclidea: Gli elementi d'Euclide e la critica antica e moderna, editi da F. Enriques col concorso di diversi collaboratori, I, Roma 1925. - Per la geometria del triangolo: C. Alasia, La recente geometria del triangolo, Città di Castello 1900; inoltre G. Biggiogero, Una visione proiettiva della geometria del triangolo, in Periodico di matematiche, 1928 e 1929.