univoca risolubilita
univoca risolubilita
univoca risolubilità proprietà di una equazione rispetto a una sua incognita in un intorno di una sua soluzione: l’equazione ƒ(x, y) = 0 si dice univocamente risolubile rispetto a y in un intorno della sua radice P(x0, y0) se esiste un intorno W = U × V di P tale che ∀x ∈ U esiste una e una sola y ∈ V tale che ƒ(x, y) = 0. Al variare di x in U tale radice y = φ(x) risulta una funzione implicita definita dall’equazione data. Per esempio, l’equazione x 2 + y 2 − 2 = 0 è univocamente risolubile rispetto a y in un intorno del punto (1, −1): è W = [−1, 1] × [−1, 0] e la funzione implicita è
(ma nella definizione non si chiede che sia possibile ottenerne una espressione analitica). La stessa equazione non è invece risolubile rispetto a y in un intorno di [2, 0]: infatti in ogni intorno [2 − ε, 2 + ε] di 2 esistono punti (quelli con x < 2) per i quali l’equazione ammette due soluzioni in y, e altri (quelli con x > 2) per cui l’equazione non ammette soluzioni in y.