Polya, urna di
Polya, urna di
Modello utilizzato per lo studio della frequenza di successo, tenendo conto di possibili influenze di tipo contagioso, in senso sia proprio sia inverso (contagio negativo o immunizzazione). Il modello considera un’urna nella quale si trovano inizialmente N palline, di cui pN bianche (0<p<1) e qN nere (q=1−p). Si procede a una sequenza di estrazioni, seguite, previa osservazione dell’esito, da reimbussolamento della pallina estratta e di altre rN dello stesso colore. Si noti che per r=0 si ritrova il classico schema di estrazioni con reimbussolamento, che comporta equiprobabilità e indipendenza dall’esito delle precedenti estrazioni dell’uscita di una pallina bianca in ogni estrazione. Per r>0 la composizione dell’urna è invece variabile nel tempo e dipende dall’esito dei precedenti sorteggi. Indicando con Eh l’evento ‘esce bianca alla h-esima estrazione’, si può provare che risulta p(Eh)=p, e che per ogni coppia h,k di indici distinti la covarianza (➔) fra gli eventi riferiti all’estrazione di pallina bianca sia al colpo h sia al colpo k è pari a cov(Eh, Ek)=pqr/(1+r). Per quanto riguarda il valore atteso, che qui converrà indicare con la notazione M, a evitare confusioni con la notazione E di evento, e la varianza, V, della variabile Sn che conta il numero di palline bianche ottenute in n sorteggi, risulta M(Sn)=np e V(Sn)=npq(1+nr)/(1+r). ● Nelle applicazioni, l’uscita di pallina bianca rappresenta la presenza di fattispecie contagiosa (malattia, in biologia, fallimento, in economia e finanza) in un soggetto estratto a caso da una popolazione; p è usualmente molto basso (per es., 1% o 5%) e r descrive la virulenza del contagio. Il fatto che la varianza della variabile Sn, che misura il numero di soggetti colpiti dalla malattia, sia funzione crescente di r (mentre la media è indipendente da r) indica che gli ammalati (i fallimenti) tendono a concentrarsi in alcune sequenze (quelle dove si è verificato il contagio), mentre in altre la malattia non si manifesta.