valutazione
valutazione
valutazione termine usato in algebra con significati diversi.
□ In un dominio d’integrità A, è un’applicazione v: A{0} → N tale che:
• v(a) ≤ v(ab), per ogni coppia di elementi non nulli a, b appartenenti ad A;
• se a e b appartengono ad A, con b ≠ 0, allora esistono due elementi q e r di A tali che a = bq + r con v(r) < v(b) (divisione euclidea).
Gli elementi q e r sono detti rispettivamente quoziente e resto della divisione euclidea di a per b e A è detto → dominio euclideo. Per esempio, sono domini euclidei l’anello Z dei numeri interi, con la valutazione data dal valore assoluto del numero, e l’anello K[x] dei polinomi a coefficienti in un campo K, con la valutazione data dal grado del polinomio.
□ In un campo K, applicazione v: K → Z ∪ {∞} tale che:
• v(xy) = v(x) + v(y), per ogni x, y appartenenti a K;
• v(x + y) ≥ min{v(x), v(y)};
• v(x) = ∞ se e solo se x = 0.
Il sottoinsieme Av ⊆ K definito da
è un → dominio d’integrità con K come campo dei → quozienti; esso gode delle seguenti proprietà:
• un elemento x di Av è invertibile in Av se e solo se v(x) = 0;
• Av possiede un unico ideale massimale, che coincide con l’insieme μv = {x ∈ K : v(x) > 0}, vale a dire che è un anello locale.
Un anello di questa forma è detto anello a valutazione discreta (comunemente abbreviato con la sigla dvr). Per esempio, se K è un campo e se α è un elemento di K, l’applicazione vα: K(x) → Z ∪ {∞}, che associa alla funzione razionale ƒ(x) = p(x)/q(x) (dove p(x) e q(x) sono due polinomi a coefficienti in K che si suppongono privi di fattori comuni) la molteplicità di α come zero di ƒ(x) (vale a dire la molteplicità di α come zero di p(x) o la molteplicità, con segno negativo, di α come zero di q(x)), è una valutazione discreta sul campo K(x) delle funzioni razionali a coefficienti in K. L’anello Av(α) coincide allora con l’anello delle funzioni razionali definite in α, mentre l’ideale massimale μv(α) coincide con l’ideale delle funzioni razionali definite in α e nulle in α.