variazione delle costanti, metodo di

variazione delle costanti, metodo di

variazione delle costanti, metodo di in analisi, tecnica che consente di determinare un integrale particolare di un sistema completo di equazioni differenziali lineari a partire dall’integrale generale del sistema omogeneo associato (→ sistema differenziale). Se W(x) è una → matrice wronskiana per il sistema y′ = A(x)y + b(x), si cerca una soluzione particolare della forma p(x) = W(x)q(x). Ciò dà il nome al metodo, perché l’integrale generale del sistema omogeneo ha la forma W(x)c, con c vettore costante, e quindi il metodo è costruito sostituendo delle variabili alle costanti che costituiscono c.

Effettuando la sostituzione nel sistema e ricordando che W′ (x) = A(x)W(x), si ottiene q′(x) =W⁻¹(x)b(x), da cui per integrazione si ottiene q(x) a meno di un vettore costante c.

Un metodo analogo si può utilizzare per le equazioni differenziali lineari di ordine n. Si cerca un integrale particolare nella forma

Si deriva n volte, imponendo a ogni passo che la sommatoria contenente le derivate γ_k′ delle costanti si annulli. In questo modo non compaiono mai derivate di ordine superiore di tali γ_k. Si sostituiscono infine le espressioni trovate nell’equazione differenziale e questa, assieme alle condizioni precedentemente introdotte, costituisce un sistema lineare nelle n derivate γ_k′(x). Risolto tale sistema (operazione che nella formulazione vettoriale è “nascosta” nella introduzione dell’inversa della matrice wronskiana), basta integrare per ottenere le γ_k(x).

Il metodo di variazione delle costanti fu introdotto da Eulero e perfezionato poi da J.-L. Lagrange; la sua denominazione proviene dall’idea di far variare le costanti arbitrarie che compaiono nell’integrale generale dell’equazione omogenea, pesandole, quindi, come funzioni, e cercando così di identificarle in modo che l’equazione completa venga soddisfatta.