variazione totale

variazione totale

variazione totale in analisi, per una funzione ƒ: [a, b] → R (o C) la variazione totale di ƒ sull’intervallo [a, b] è l’estremo superiore dell’insieme numerico formato da tutte le somme

dei valori assoluti delle differenze tra i valori di ƒ negli estremi degli intervalli di una qualsiasi scomposizione di [a, b] in un numero finito di intervalli parziali, con a < x₁ < x₂ < ... < x_n−1 < b.

È, quindi, così definita

Se l’intervallo è illimitato, si calcola il limite per a → ‒∞ e/o b → +∞ di questa quantità e si definisce variazione totale V_ƒ della funzione l’estremo superiore dell’insieme numerico formato dai diversi valori che può assumere la variazione totale della funzione in tutti i diversi intervalli limitati contenuti nell’intervallo stesso. Se V_ƒ è un valore finito, la funzione ƒ si dice a variazione limitata in [a, b]. Queste funzioni costituiscono uno spazio di → Banach con la norma ‖ƒ ‖ = V_ƒ.

Una funzione reale a variazione limitata si può esprimere come differenza di due funzioni non negative e crescenti; ne consegue che i suoi punti di discontinuità sono solo di prima specie (salto) e costituiscono al più un insieme numerabile.