varieta differenziabile

varieta differenziabile

varietà differenziabile o varietà liscia, varietà topologica M dotata di un atlante differenziabile, vale a dire un atlante i cui cambiamenti di coordinate sono funzioni differenziabili tra aperti di Rⁿ. Se i cambiamenti di coordinate sono funzioni differenziabili di classe almeno k, allora M è detta una varietà differenziabile di classe k; le varietà topologiche coincidono con le varietà differenziabili di classe 0. Una funzione ƒ: M → R^m si dice differenziabile (di classe h ≤ k) in un punto p di M se, fissata una carta locale (U, ψ) intorno a p, la funzione reale ƒ ∘ ψ⁻¹: ψ(U) → R^m è differenziabile nel punto ψ(x₀) di Rⁿ; tale nozione non dipende dalla particolare carta fissata.

La funzione ƒ è detta differenziabile (di classe h) se è differenziabile (di classe h) in ogni punto di M; con il simbolo C^h(M) si indica l’insieme delle funzioni ƒ: M → R differenziabili di classe h; con il simbolo C^h(p), dove p è un punto di M, si indica l’insieme delle funzioni differenziabili di classe h definite in un opportuno intorno di p in M. Se M e N sono due varietà differenziabili, una funzione ƒ: M → N è detta differenziabile (di classe h) in un punto p se, fissate una carta locale (U, φ) di M intorno a p e una carta locale (V, ψ) di N intorno a ƒ(p), è differenziabile (di classe h) in φ(p) l’applicazione ψ ∘ ƒ ∘ φ⁻¹. Un’applicazione tra due varietà differenziabili è detta differenziabile (di classe h) se è differenziabile (di classe h) in ogni punto di M. Una funzione differenziabile (di classe h) dotata di inversa a sua volta differenziabile (di classe h) è detta diffeomorfismo (di classe h). Due varietà differenziabili di classe k sono dette avere la stessa struttura differenziabile se esiste un diffeomorfismo di classe k tra di esse. Uno dei problemi fondamentali della teoria delle varietà differenziabili è quello di classificarle a meno di diffeomorfismi.

Si definisce derivazione in un punto p di una varietà differenziabile M di classe k una qualsiasi funzione reale D: C^k(p) → R che sia lineare e che goda della seguente proprietà:

dove ƒ e g sono due arbitrarie funzioni e dove ƒ ⋅ g indica la funzione prodotto definita da

L’insieme di tutte le derivazioni in p costituisce lo spazio tangente alla varietà differenziabile M in p, indicato con il simbolo T_pM: esso è uno spazio vettoriale la cui dimensione coincide con la dimensione della varietà. Una curva su una varietà differenziabile M è una qualsiasi funzione continua γ: (−1, 1) → M. Un vettore tangente in un punto p può essere equivalentemente visto come una classe di curve differenziabili passanti per p con un contatto di ordine 1 (→ contatto tra due curve).