varieta

varieta

varietà nozione che generalizza quelle di curva e superficie della geometria analitica. Intuitivamente, una varietà è uno spazio a più dimensioni che localmente, intorno a ogni suo punto, presenta una struttura simile a quella dello spazio euclideo. L’introduzione di tale concetto generale e dell’originario termine tedesco Mannigfaltigkeit, da cui proviene il corrispondente termine inglese manifold, si deve a B. Riemann, che lo definì nella seconda metà del xix secolo, come fecondo tentativo di fornire un quadro unitario dello studio degli ambienti geometrici, dopo lo sconcerto legato alla scoperta delle geometrie non euclidee e avvalendosi dei nuovi più astratti strumenti messi a disposizione nel frattempo dalle varie branche della matematica. La definizione dipende dall’ambiente in cui si opera, dalla natura degli elementi che lo costituiscono e dalle proprietà che si vogliono studiare. A seconda che si usino gli strumenti della sola topologia o anche quelli del calcolo differenziale e dell’analisi complessa, si costruiscono rispettivamente le → varietà topologiche oppure le → varietà differenziabili e le → varietà complesse (o analitiche), che sono raffinamenti della nozione di varietà topologica.

In italiano, il termine varietà è utilizzato non solo con il significato sopra illustrato del termine inglese manifold, ma anche con il significato del termine inglese variety, il quale si riferisce unicamente alle → varietà algebriche (che non sono varietà topologiche): tali varietà discendono dallo studio, da un punto di vista geometrico, dell’insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni polinomiali.

Le varietà algebriche sono l’oggetto privilegiato di studio della geometria algebrica, che utilizza gli strumenti dell’algebra e che in Italia ha avuto una ricca scuola (si veda la scheda di approfondimento alla voce → geometria algebrica).