Von Neumann-Morgenstern, funzione di utilità
Von Neumann-Morgenstern, funzione di utilita
Von Neumann-Morgenstern, funzione di utilità Funzione reale u(x) della variabile reale x, ricchezza o guadagno di un individuo, che entra in gioco nell’impostazione assiomatica della teoria dell’utilità attesa di J. Von Neumann (➔) e O. Morgenstern (➔). Tale approccio, esposto negli anni 1940, fornì un rigoroso supporto metodologico all’idea, enunciata oltre due secoli prima (1738) da D. Bernoulli (➔), di decidere fra situazioni aleatorie calcolandone l’utilità attesa. ● Indicando con X (Y) la ricchezza o il guadagno aleatorio che assume determinazione x(ω) (y(ω)) quando si verifica lo stato di natura ω con probabilità p(ω), e con E l’operatore valore atteso, il teorema fondamentale di V. N.-M. asserisce che la situazione aleatoria X è strettamente preferita alla Y da un individuo con funzione di utilità u se e solo se E[u(X)]=Σω u(x(ω))p(ω)>E[u(Y)]=Σωu(y(ω))p(ω), cioè se il valore atteso dell’utilità (ovvero l’utilità attesa) della X è maggiore di quello della Y. Le funzioni di utilità sono definite a meno di trasformazioni lineari positive (se u(x) è funzione di utilità di un individuo, lo è anche v(x)=au(x)+b con a>0). Si suppone che le funzioni di utilità di ogni decisore razionale siano crescenti (insaziabilità verso la ricchezza). Il segno della derivata seconda è invece un indice qualitativo dell’avversione al rischio: essa è negativa, nulla o positiva per individui rispettivamente avversi, neutrali o pronti al rischio; misure dell’avversione assoluta (relativa) al rischio locale (➔ rischio) sono le funzioni rA(x)=−u″(x)/u′(x) (rR(x)=x rA(x)).