Z-trasformazione

Z-trasformazione

Z-trasformazione associazione di una funzione ƒ(z) a una funzione F(t) secondo la seguente corrispondenza: la trasformata Z di una funzione F(t), continua in [0, +∞) e di crescita al più esponenziale è la funzione

Essa è indicata con Z(F(t)) o, più precisamente, con Z_T(F(t)), e descrive un campionamento di parametro T > 0 della funzione F. La trasformata Z è una funzione analitica di z in un cerchio |z| > R = e^λT, dove λ è tale che risulti |F(t)| ≤ Ce^λt. Poiché ƒ(z) dipende solo da un campionamento, la trasformazione non è invertibile: esistono infatti funzioni, come sin(2πt/T), che hanno trasformata nulla. Si possono ricostruire solo i valori F(nT) come coefficienti dello sviluppo di → Laurent di ƒ(z).

Z(F(t)) può essere pensata come trasformata di Laplace della distribuzione campionata

Valgono i teoremi del valore iniziale

e del valore finale

quest’ultimo sotto l’ipotesi che il limite l a primo membro esista e che la differenza F(t) − l sia O(e^−αt) per t → ∞ per qualche α > 0.