derivata

derivata

s. f. [da derivato, part. pass. di derivare1]. – Concetto fondamentale nell’analisi matematica e nelle sue applicazioni che esprime, date due grandezze l’una funzione dell’altra (per es., in fisica, lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo; in economia, il prodotto ottenuto al variare della quantità di fattori di produzione impiegati, ecc.), il modo di variare istantaneo di una grandezza rispetto all’altra: la velocità è la d. rispetto al tempo del cammino percorso; la derivata di una grandezza variabile rispetto a un’altra è quindi una grandezza ottenuta dalla prima e dalla quale è possibile, generalmente, mediante un analogo procedimento di derivazione, derivare ancora un’altra grandezza, e in questo senso si parla di d. prima, seconda, terza, ecc.: l’accelerazione è la d. seconda dello spazio percorso rispetto al tempo (o, il che è lo stesso, la d. prima della velocità rispetto al tempo); se una grandezza dipende da più grandezze osservabili, si può considerare la rapidità di variazione rispetto ad una di tali grandezze (d. parziale) mantenendo fisse tutte le altre. Più in partic., da un punto di vista strettamente matematico, data una funzione continua y = f(x), la derivata f′(x) (che può essere scritta anche y′, Df(x), df/dx, ecc.) è una nuova funzione che rappresenta il limite (ove esista) del rapporto incrementale Δy/Δx quando l’incremento Δx della variabile indipendente tende a zero. Da un punto di vista geometrico, con riferimento alla curva che rappresenta la funzione f(x), la derivata di f(x) in un suo punto esprime il valore della tangente trigonometrica dell’angolo che la tangente geometrica alla curva in quel punto forma con l’asse delle ascisse; in partic., se la retta tangente risulta parallela all’asse delle ascisse, la derivata è nulla (uguale a zero), il che significa che per un incremento infinitesimo della variabile indipendente non si ha alcun incremento della variabile dipendente (in economia, per es., quando la produttività marginale cessa di essere positiva); se la retta tangente risulta parallela all’asse delle ordinate, la derivata è infinita.