Lindenbaum, algebra di

Lindenbaum, algebra di

Lindenbaum, algebra di struttura algebrica associata alle formule del linguaggio degli enunciati. In termini più specifici, l’algebra di Lindenbaum è una particolare algebra di → Boole i cui elementi sono le formule ben formate del linguaggio degli enunciati riunite in classi di equivalenza in maniera tale che formule logicamente equivalenti siano identificate come un unico elemento della struttura algebrica. In sostanza, nell’insieme F delle formule ben formate del linguaggio degli enunciati si definisce la relazione r di equivalenza: A r B se e solo se A e B sono logicamente equivalenti. Data una formula A di F, si indica con il simbolo [A] la classe di equivalenza di A modulo r cioè l’insieme delle formule di F che sono logicamente equivalenti ad A. Date due classi di equivalenza [A] e [B], è possibile definire delle operazioni algebriche fra di esse che corrispondono ai connettivi logici. In particolare, indicando tali operazioni con i simboli ∪ (unione), ∩ (intersezione) e C (complementazione), si definisce:

• [A] ∪ [B] = [A ∨ B], cioè l’unione fra le due classi di equivalenza [A] e [B] è la classe di equivalenza della disgiunzione fra gli enunciati A e B, indicata con il simbolo ∨;

• [A] ∩ [B] = [A ∧ B], cioè l’intersezione fra le due classi di equivalenza [A] e [B] è la classe di equivalenza della congiunzione fra gli enunciati A e B, indicata con il simbolo ∧;

• C[A] = [¬A], cioè il complementare della classe di equivalenza [A] corrisponde alla classe di equivalenza della negazione dell’enunciato A, indicato con il simbolo ¬.

L’insieme di tali classi di equivalenza dotato delle operazioni sopra definite è detto algebra di Lindenbaum di F ed è indicato con il simbolo F *. Essa è un’algebra di Boole. In particolare, l’elemento 1 dell’algebra di Boole corrisponde alla classe di equivalenza di tutte le tautologie del linguaggio F, mentre l’elemento 0 corrisponde alla classe di equivalenza di tutte le contraddizioni.

Nell’insieme F * è possibile inoltre definire una relazione, indicata con il simbolo ≤ e definita nel seguente modo: [A] ≤ [B] se e soltanto se nel calcolo degli enunciati è possibile dedurre logicamente la formula A ⇒ B. La relazione ≤ è un ordinamento, ma non è totale perché non necessariamente due classi sono confrontabili.