ampliamento
ampliamento
ampliamento procedura che permette di costruire un insieme numerico più ampio e che gode di maggiori proprietà rispetto all’insieme di partenza. In generale, dato un insieme I con una o più operazioni definite tra i suoi elementi, un suo ampliamento è un insieme J che gode delle due seguenti proprietà:
• J contiene I (o meglio, contiene un insieme isomorfo a I);
• ogni operazione definita su I si estende a J, conservando tutte le proprietà formali già soddisfatte in I. In modo equivalente, J è un ampliamento di I se esiste una immersione di I in J. Casi particolari di tale situazione generale sono le estensioni di un gruppo o di un campo. In alcuni importanti casi, un ampliamento di un insieme I, dotato di una qualche struttura, è infatti costruito come la chiusura di I rispetto a un’operazione che risulta essere solo parzialmente definita in I, cioè come il più piccolo insieme dotato di una struttura algebrica che sia almeno equivalente a quella di I e che sia chiusa rispetto alla data operazione. Si può chiarire meglio il senso di questa procedura analizzando più da vicino i casi degli insiemi numerici N, Z, Q, R e C e illustrando come tali insiemi si costruiscono come ampliamenti successivi a partire dall’insieme dei numeri naturali N.
Ampliamento di N
I numeri naturali costituiscono un monoide commutativo rispetto alla somma e un monoide commutativo rispetto al prodotto e le due strutture sono compatibili nel senso che valgono le proprietà distributive di un’operazione rispetto all’altra. Z è un ampliamento di N: infatti Z contiene N, che si identifica con il sottoinsieme dei numeri interi formato dai numeri non negativi, e dunque è verificata la prima proprietà della definizione di ampliamento. D’altra parte Z è un anello commutativo unitario (è cioè un gruppo commutativo rispetto alla somma, è un monoide commutativo rispetto al prodotto e le due operazioni sono legate dalle proprietà distributive) e, per come è definito, le operazioni di somma e prodotto in Z, ristrette a N, coincidono con le operazioni di somma e prodotto già definite in N. Quindi Z estende la struttura di N e coincide con la sua chiusura rispetto all’operazione che associa a un elemento il suo opposto.
Ampliamento di Z
Nei numeri interi non è sempre possibile effettuare la divisione perché in genere tale operazione determina un resto non nullo. In altre parole se m è un arbitrario intero, non sempre è definito il suo inverso moltiplicativo, cioè un intero m′ per cui mm′ = 1. Per costruzione, la chiusura di Z rispetto a questa operazione è il campo Q dei numeri razionali. A differenza del caso precedente, Q non è ottenuto semplicemente aggiungendo a Z gli elementi «mancanti» rispetto all’operazione che si voleva fosse definita per ogni elemento: per esempio 3/2 non è l’inverso di alcun numero intero. Il voler mantenere la struttura di anello commutativo unitario definita su Z rende necessario aggiungere ulteriori elementi.
Ampliamento di Q
Non tutti i numeri decimali sono finiti o periodici e i numeri che non lo sono non possono essere espressi come frazioni (tale è per esempio √(2)): in altre parole, esistono successioni di Cauchy di numeri razionali che non convergono a numeri razionali. Si definisce quindi R come la chiusura di Q rispetto all’operazione matematica che associa a ogni successione di Cauchy di numeri razionali il suo limite. Una tale operazione è detta completamento (metrico). Se come ampliamento di un campo K è dato un campo K ′, allora si parla più propriamente di estensione di campi. Se ogni elemento di K ′ è un elemento algebrico su K, allora tale ampliamento è detto ampliamento algebrico, altrimenti è detto trascendente. R è un ampliamento trascendente di Q: infatti, oltre a numeri reali non razionali, ma algebrici su Q (come appunto √(2) perché soluzione dell’equazione x2 − 2 = 0) esistono numeri reali non algebrici su Q; classici esempi sono π ed e (numero di Nepero). Se un ampliamento è ottenuto «aggiungendo» a un dato campo un solo elemento, sia esso algebrico o trascendente, allora è detto semplice. Un importante esempio di ampliamento algebrico semplice è l’ampliamento di R.
Ampliamento di R
Per definizione C è la chiusura algebrica di R. Esso infatti coincide con il più piccolo campo contenente R e l’unità immaginaria i, e dunque l’estensione è semplice. D’altra parte i è definito tramite l’equazione i2 + 1 = 0 e dunque esso è algebrico su R e l’estensione è algebrica.