anello di polinomi

anello di polinomi

Sia F un campo, ovvero un corpo commutativo. Si definisce anello di polinomi F[x] in una indeterminata x l’insieme dei simboli a₀+a₁x+...+a_nxⁿ, dove n è un intero non negativo e i coefficienti a₀,a₁,...,a_n sono elementi di F. Se

p(x) = a₀+a₁x+...+a_nxⁿ

e

q(x) = b₀+b₁x+...+b_mx^m

sono elementi di F[x], allora p(x)=q(x) se e solo se aι=bι per ogni i≥0 (qui e nel seguito aι=0 per i>n e bι=0 per i>m). Addizione e moltiplicazione tra polinomi sono definiti come segue:

se p(x) = a₀+a₁x+...+a_nxⁿ

e

q(x) = b₀+b₁x+...+b_mxⁿ,

allora

p(x)+q(x) = c₀+c₁x+...+c_px^p

dove c_i=a_i+b_i per ogni i≥0 se

p(x)=a₀+a₁x+...+a_nxⁿ

e

q(x)=b₀+b₁x+...+b_mx^m,

allora

p(x)q(x)=c₀+c₁x+...+c_px^p

dove

c_q=a_qb₀+a_(q−1)b1+a_(q−2)b₂+... +a₀b_q.

In altre parole per moltiplicare due polinomi si moltiplicano formalmente i due simboli che li definiscono, facendo uso della relazione x^{αxβ=x(α+β)} e raccogliendo i termini così ottenuti. Se

p(x)=a₀+a₁x+...+a_nxⁿe a_n≠0,

l’intero n si chiama grado di p(x) e si indica δp(x). La generalizzazione al caso F[x1,...,xν] di anelli di polinomi a più variabili è immediata, tenendo conto della definizione δx1α1x2α2...xναν=∑αι. L’anello F[x] gode di alcune importanti proprietà, il cui studio e generalizzazione sono stati di importanza fondamentale nello sviluppo della teoria degli anelli commutativi. In primo luogo esso è un anello euclideo, con grado definito da δ, come stabilito dall’esistenza di un algoritmo di divisione (o euclideo): dati i polinomi p(x) e q(x), con q(x)≠0, esistono due polinomi t(x) e r(x) tali che p(x)=t(x)g(x)+r(x), dove r(x)=0 oppure δr(x)〈δg(x). Notiamo che gli anelli F[x1,...,xν] con n>1 non sono euclidei. La presenza di un’algoritmo di divisione conduce a domandarsi se sia possibile definire l’analogo di un numero primo. La risposta è affermativa: un polinomio p(x) in F[x] si dice irriducibile (su F) se una sua fattorizzazione ;p(x)=a(x)b(x) (con a(x) e b(x) in F[x]) implica che a(x) o b(x) sia costante. Inoltre, ogni polinomio in F[x] può essere scritto in modo unico come prodotto di polinomi irriducibili: F[x] è dunque un dominio a fattorizzazione unica. Se il campo F è algebricamente chiuso, ovvero ogni polinomio ha almeno una radice in F, allora i polinomi irriducibili sono della forma x−a0, con a0 in F. Un polinomio irriducibile q(x) genera un ideale I in F[x], l’insieme constituito da tutti i polinomi ottenuti moltiplicando q(x) per un polinomio qualunque. I è massimale, cioè non è propriamente contenuto in nessun altro ideale proprio. Viceversa, ogni ideale massimale è generato da un polinomio irriducibile: l’estensione di quest’ultima proposizione al caso F[x1,...,xν] è la famosa Nullstellensatz di David Hilbert.

→ Invarianti, teoria degli