proposizionale, calcolo

proposizionale, calcolo

Locuz. che designa il calcolo logico in cui l’analisi delle inferenze viene condotta a livello delle proposizioni (e dei loro nessi logici) senza indagare la struttura interna delle proposizioni stesse (➔ logica matematica). Un sistema formale può essere inteso come una coppia ordinata formata da un linguaggio formale L e da un apparato deduttivo D. Il linguaggio è costituito dall’alfabeto (lettere proposizionali: P1,…,Pn che stanno per proposizioni semplici del linguaggio; simboli per i connettivi logici proposizionali: ¬, →, ↔, ⋀, ⋁; simboli ausiliari: parentesi tonde, virgole, ecc.) e dall’insieme delle formule ben formate (costituito dalle lettere proposizionali e da proposizioni composte, ➔ proposizione). L’apparato deduttivo è costituito da assiomi e da schemi di assiomi e da regole logiche: per es., un particolare sistema formale per la logica p., avente solo i connettivi logici ¬ e →, è costituito dagli schemi degli assiomi (A1. (α→(β→α)); A2. (α→(β→γ))→((α→β)→(α→γ)); A3. (¬β→¬α)→((¬β→α)→β); e dalla regola logica del modus ponens (da α e da α→β segue β). La concezione classica del calcolo p. si fonda sul carattere verofunzionale dei connettivi e sull’adozione dei principi di determinatezza (ogni enunciato si trova comunque in qualche stato di verità), bivalenza (gli stati di verità possibili sono due: quello vero e quello falso) ed estensionalità (lo stato di verità degli enunciati ottenuti per connessione dipende estensionalmente da quello degli enunciati connessi). È possibile avere diversi sistemi di logica p. a seconda dei principi che vengono assunti o degli operatori che in essi si considerano (si pensi al caso delle logiche non classiche e delle logiche intensionali). Dato un sistema formale è possibile studiarne le proprietà metateoriche: il sistema formale per la logica p. classica gode, per es., della proprietà della consistenza, della correttezza, della completezza, e della decidibilità.