Gauss, Carl Friedrich

Gauss, Carl Friedrich

Uno dei 'prìncipi' della matematica

Tra Settecento e Ottocento il matematico tedesco Carl Friedrich Gauss ha rivoluzionato la matematica con la moderna teoria dei numeri e la geometria delle superfici. Le sue idee hanno contribuito a far nascere la geometria differenziale adottata da Albert Einstein nella teoria della relatività e importanti sono state anche le ricerche condotte da Gauss in fisica e astronomia

Nel regno dei numeri

Carl Friedrich Gauss, nato a Brunswick in Germania nel 1777, è considerato uno dei maggiori matematici della storia e non a caso ha ricevuto il titolo di princeps mathematicorum, "signore dei matematici".

Sin da bambino Gauss ha manifestato grande interesse e abilità nel manipolare i numeri e trovare soluzioni rapide ai problemi. Oltre che di matematica, Gauss si è anche occupato di fisica (esaminando soprattutto i fenomeni magnetici), geodesia (lo studio della forma e delle dimensioni della Terra) e astronomia lavorando per gran parte della sua vita presso l'Osservatorio astronomico di Gottinga. In questo ultimo ambito, tra l'altro, ha introdotto metodi poi divenuti fondamentali nella moderna teoria della probabilità.

Molte sue idee spesso si sono rivelate in netto anticipo sui tempi. Il suo nome è legato a teoremi, funzioni e curve matematiche e a un sistema di misura; Gauss ha anche contribuito a far nascere vari settori della matematica moderna. Ha completato le prime dimostrazioni di uno dei più celebri teoremi nella storia della matematica, il teorema fondamentale dell'algebra, e introdotto la moderna teoria dei numeri nelle sue Disquisitiones aritmeticae. Gauss è stato anche uno dei primi a considerare l'esistenza di geometrie diverse rispetto a quella euclidea, e János Bolyai, il fondatore di una delle geometrie non euclidee, era figlio di un suo amico e corrispondente dai tempi dell'università.

Uno tra i principali risultati di Gauss è stata la geometria intrinseca delle superfici, introdotta nella prima parte dell'Ottocento e ripresa qualche decennio dopo da un suo allievo, Bernhard Riemann, che estese l'idea di una geometria intrinseca a 'superfici' con un numero qualsiasi di dimensioni. Nasce così in matematica la nozione di varietà, un concetto poi utilizzato da Albert Einstein nella teoria della relatività.

La geometria delle superfici

Supponiamo di voler descrivere le proprietà di una superficie sferica, cioè la superficie che costituisce il contorno di una sfera. Non si tratta di una semplice curiosità perché, in modo molto approssimato, quella terrestre ricorda una superficie di questo tipo.

Possiamo pensare, per esempio, di prendere un sistema di coordinate nello spazio, cioè di assegnare a ogni punto dello spazio tre numeri, x, y e z, che rappresentano le sue coordinate. Questo è il procedimento classico della geometria analitica. Per esempio, se dobbiamo calcolare la distanza tra due punti di una superficie possiamo usare le coordinate spaziali, trovando la lunghezza del segmento che li unisce.

Questo però non è l'unico modo di procedere. Anzi, se dobbiamo calcolare la distanza tra due città sulla superficie terrestre questo metodo non risulterà molto utile in quanto, in tal modo, avremo calcolato la loro distanza nello spazio, e non quella sulla superficie. Per calcolare questa ultima distanza, dobbiamo cercare il percorso minimo tra le due città e poi misurarlo; il tragitto non è più un segmento ma una curva sulla superficie terrestre.

Di fatto è come se considerassimo i due punti appartenenti alla superficie e non allo spazio circostante; in questo modo si possono introdurre coordinate direttamente su di essa, come avviene sulla superficie terrestre quando si considerano la latitudine e la longitudine di un punto (coordinate geografiche). Le coordinate non saranno più rettilinee ma curvilinee e, grazie a esse, si possono descrivere le proprietà geometriche della superficie. Queste idee sono alla base della geometria intrinseca delle superfici, una teoria fondata proprio da Gauss.