catena

catena

catena termine usato con diversi significati.

☐ In algebra, si definisce catena un insieme totalmente ordinato o un sottoinsieme totalmente ordinato di un insieme parzialmente ordinato. Una catena si dice massimale se non esiste nessuna catena che la contiene come sottoinsieme proprio. Ciascuna delle due affermazioni seguenti è equivalente all’assioma della → scelta: a) in un insieme parzialmente ordinato ogni catena è contenuta in una catena massimale (principio di → Hausdorff); b) se ogni catena di un insieme parzialmente ordinato ha un maggiorante, ogni elemento dell’insieme precede qualche elemento massimale (elemento che appartiene all’insieme e non precede alcun elemento dell’insieme: lemma di → Zorn). La lunghezza di una catena finita C è definita come la cardinalità di C diminuita di 1. Se la catena C non è finita, si dice che ha lunghezza infinita.

☐ In topologia, il termine catena indica ogni elemento di uno qualsiasi dei gruppi abeliani che costituiscono un complesso di catene:

Un complesso di catene è una sequenza di gruppi abeliani …, C₋₂, C₋₁, C₀, C₁, C₂, … (detti anche gruppi di catene) connessi da una sequenza di morfismi di gruppi…, ∂₋₂, ∂₋₁, ∂₀, ∂₁, ∂₂, … tali che ∂_n: C_n → C_n−1, ha C_n e C_n−1 rispettivamente come dominio e codominio e la composizione ∂_n ∘ ∂_n+1 è il morfismo nullo da C_n+1 a C_n−1. Gli elementi del gruppo C_n prendono il nome di catene di dimensione n. La dimensione di una catena c è n se c appartiene al gruppo C_n. Ciascun morfismo ∂_n prende il nome di morfismo bordo. Talvolta, i morfismi bordo sono chiamati differenziali e il complesso di catene complesso differenziale.

☐ In teoria dei grafi, successione finita di archi di un grafo orientato che può essere trasformata in un cammino cambiando eventualmente il verso a qualche arco. Una catena in cui il nodo iniziale e il nodo finale coincidono viene detta circuito; se la catena è un cammino elementare, il circuito è detto ciclo. Una catena è detta semplice se nessun arco e nessun nodo viene ripetuto. Se per ogni coppia di nodi del grafo esiste una catena che li congiunge, il grafo è connesso.

☐ In geometria il termine è utilizzato per denotare una particolare sequenza (infinita) di cerchi, nota appunto come catena di → Pappo.

☐ In teoria della probabilità, il termine indica un processo stocastico con spazio degli stati discreto (→ Markov, catena di).