ciclotomia

ciclotomia

ciclotomia problema classico della geometria che consiste nella divisione di una circonferenza in n archi della stessa ampiezza, con l’uso di riga e compasso. Il problema, che equivale a quello di costruire, sempre con riga e compasso, un poligono regolare di n lati, era stato posto nell’antica Grecia e già per n = 7 non se ne conosceva la soluzione. Solo nel xix secolo K.F. Gauss risolse il problema in generale dimostrando che la ciclotomia con riga e compasso è possibile se e solo se n è un numero del tipo 2^m · p₁ · ... · p_s, dove p₁, ..., p_s sono 1 oppure numeri di → Fermat primi e distinti tra loro. Identificando il piano con il piano di → Argand-Gauss, si consideri l’equazione xⁿ − 1 = 0 nell’insieme dei numeri complessi: si ha che gli angoli sottesi alle soluzioni del problema coincidono con gli argomenti delle n radici n-esime dell’unità. Questa corrispondenza è facilmente esprimibile per mezzo dell’esponenziale complesso, secondo cui l’angolo θ corrisponde al numero complesso e^{i θ}. Un polinomio irriducibile che, per un opportuno numero naturale n, divida il polinomio xⁿ − 1 è detto un polinomio ciclotomico. Detto altrimenti, un polinomio ciclotomico è il polinomio minimo sul campo Q dei numeri razionali del numero complesso associato, nel modo descritto, a un angolo che risolve, per un opportuno n, il problema di ciclotomia.