Serre, congettura di
Serre, congettura di
Serre, congettura di in algebra, riguarda una particolare relazione tra moduli su un anello di polinomi K[x1, …, xn], dove K è un campo. È nota anche come problema di Serre, perché Serre in realtà non formulò alcuna congettura, ma si limitò a porre il problema nel 1955. Il problema è stato poi risolto nel 1976 in modo indipendente dal matematico statunitense D.G. Quillen e dal matematico russo A.A. Suslin, per cui è anche conosciuto come teorema di Quillen-Suslin. Il problema riguarda due tipi di moduli, i moduli liberi e i moduli proiettivi (→ modulo su un anello): poiché se un modulo è libero, esso è anche proiettivo, il problema affrontato da Serre poneva la questione se fosse vera anche l’implicazione inversa. Il teorema di Quillen-Suslin, stabilisce che se A = K[x1, …, xn] è un anello di polinomi a coefficienti in un campo (o più in generale in un dominio a ideali principali), allora ogni modulo proiettivo finitamente generato è libero.
In geometria algebrica, se X = Spec(A) (→ anello, spettro di un) è la varietà affine di cui A rappresenta le funzioni, allora i moduli proiettivi finitamente generati corrispondono ai fibrati vettoriali algebrici su X (vale a dire quelli le cui funzioni di transizione sono polinomiali), mentre i moduli liberi su A corrispondono ai fibrati vettoriali banali su X (vale a dire quelli isomorfi al prodotto diretto di X per uno spazio vettoriale; → fibrato). Il teorema di Quillen-Suslin stabilisce quindi che lo spazio affine An, che è la varietà algebrica affine associata a K[x1, ..., xn], non ammette fibrati vettoriali algebrici non banali.