CORPO ASTRATTO

CORPO ASTRATTO

. La teoria dei corpi (astratti) costituisce uno dei capitoli più profondamente studiati dell'algebra moderna (v. in questa App.); essa ha avuto origine da una celebre memoria di E. Steinitz del 1910, nella quale l'autore, partendo dal problema di trovare la condizione necessaria e sufficiente perché la teoria di E. Galois (v. algebra, II, p. 421) sia valida per le equazioni a coefficienti appartenenti ad un dato corpo, diede la classificazione di tutti i possibili tipi di corpi distinti rispetto alla relazione d'isomorfismo. La memoria dello Steinitz ha dato il più grande impulso a tutti gli studî di algebra moderna.

1. Un insieme K di elementi di natura astratta si dice un corpo se esso è costituito da almeno due elementi e se in K sono definite due operazioni di composizione (che si considerano di solito come un'addizione e una moltiplicazione), con le condizioni seguenti:

a) Il sistema K costituisce un gruppo abeliano prendendo come operazione di composizione l'addizione; l'elemento unitario di tale gruppo costituisce lo "zero" del corpo.

b) Gli elementi di K diversi dallo zero costituiscono un gruppo prendendo come operazione di composizione la moltiplicazione; l'elemento unitario di tale gruppo costituisce l'"unità" del corpo.

c) L'addizione e la moltiplicazione sono legate tra loro dalle proprietà distributive espresse dalle relazioni:

essendo a, b, c tre elementi qualsiasi di K.

Un corpo K si dice commutativo o non commutativo (o gobbo) a seconda che sia commutativo o no il prodotto in esso definito.

Per un corpo commutativo, le condizioni soprariportate equivalgono a dire che con gli elementi del corpo si può operare con le quattro operazioni dell'addizione, della sottrazione, della moltiplicazione e della divisione con le stesse regole che valgono per es., per la totalità dei numeri razionali, o reali, o complessi.

2. La teoria dei corpi astratti è stata approfondita soprattutto nel caso commutativo, al quale solo ci riferiremo.

Una prima classificazione dei corpi commutativi si può ottenere, con E. Steinitz, in base alla "caratteristica". Si dimostra precisamente che in ogni corpo K è contenuto un sottocorpo minimo (nel quale si opera per addizione e moltiplicazione allo stesso modo che in K), il quale può definirsi come il sottocorpo comune a tutti i sottocorpi di K. Tale sottocorpo minimo, detto anche il "sottocorpo fondamentale" del corpo dato, può essere isomorfo al corpo dei numeri razionali ovvero ad un corpo finito, i cui elementi si possono mettere in corrispondenza biunivoca con i resti della divisione dei numeri interi per un numero primo p, constando così di p elementi distinti. Nel primo caso il corpo K si dice di "caratteristica zero", nel secondo di "caratteristica p".

3. Acquisita la nozione di "caratteristica" di un corpo K, lo Steinitz considera successivamente la possibilità di estendere un dato corpo K con l'aggiunzione di nuovi simboli. Si consideri da prima il caso semplice, in cui si aggiunga agli elementi di K un solo nuovo elemento x. Un corpo, che contenga simultaneamente tutti gli elementi di K ed il nuovo elemento x, contiene allora tutti i polinomî in x a coefficienti appartenenti a K, ossia tutte le espressioni del tipo:

essendo a₀, a₁, a₂, . . ., a_n elementi qualsiasi di K, ed n un intero qualunque.

Due casi sono ora possibili, a seconda che le espressioni [1] siano tutte tra loro distinte o no. Nel primo caso, il più piccolo corpo che contenga K e tutte le espressioni [1] è isomorfo al corpo K′, i cui elementi sono le funzioni razionali di x a coefficienti in K: il corpo K′ si dice allora ottenuto da K mediante un' "estensione trascendente semplice". Nel secondo caso, si dimostra facilmente l'esistenza di un polimonio f (x) a coefficienti in K (determinato a meno di un coefficiente di proporzionalità), il quale è "irriducibile" in K (ossia tale che esso non risulta il prodotto di due effettivi polinomî a coefficienti in K) e gode della proprietà che due elementi A (x) e B (x) del tipo [1] coincidono allora ed allora soltanto che sia:

ossia:

essendo q (x) un polinomio a coefficienti in K. In questo caso il più piccolo corpo che contenga K e tutte le espressioni [1] è isomorfo al corpo K′ costituito da tutti e soli gli elementi del tipo:

essendo n il grado del polinomio irriducibile f(x). Gli elementi [2] risultano tutti distinti tra loro; ed il corpo K′ si dice ottenuto da K mediante un'"estensione algebrica semplice di grado n".

Un corpo K* ottenuto da un corpo K mediante una serie finita o infinita di estensioni algebriche semplici, si dice un'estensione algebrica" di K, ed ogni elemento di K soddisfa allora ad un'equazione algebrica irriducibile a coefficienti in K determinata a meno di un coefficiente di proporzionalità.

4. Le nozioni sin qui tratteggiate permettono già di illustrare il punto di vista dell'algebra moderna nei riguardi del cosiddetto "teorema fondamentale dell'algebra". Nell'algebra classica tale teorema afferma che ogni equazione f(x) = 0, essendo f(x) un polinomio a coefficienti reali o complessi, ammette una radice reale o complessa α; il teorema afferma cioè l'esistenza di un numero α per il quale f(α) = 0. Da qui si deduce che ogni equazione algebrica a coefficienti reali o complessi f(x) = 0 ammette esattamente tante radici tra reali e complesse quanto è il grado del polinomio f(x), ogni radice essendo contata con la sua molteplicità.

Nell'algebra moderna, si dovranno anzitutto considerare equazioni f(x) = 0, dove f(x) sarà un polinomio a coefficienti appartenenti ad un corpo K qualunque. In un primo tempo si potranno ora ricercare le radici della f(x) = 0 nel corpo K, ossia gli eventuali elementi α di K, per i quali risulti f(a) = 0. È però chiaro che, ponendosi da questo punto di vista, non può valere nulla di analogo al teorema fondamentale dell'algebra. Se infatti f(x) è un polinomio "irriducibile" in K, è subito visto che l'equazione f(x) = 0 non può avere alcuna radice in K. ln tal caso però si può "costruire" un corpo K′, che sia un'estensione algebrica semplice di K, tale che l'equazione f(x) = 0 abbia una radiee in K′. Come infatti si è visto più sopra che ogni estensione algebrica semplice di K "individua" (a meno di un coefficiente di proporzionalità) un polinomio irriducibile in K, così, inversamente, ogni polinomio irriducibile in K individua un'estensione algebrica semplice di K, che si ottiene aggiungendo a K un elemento astratto α e considerando il corpo costituito da tutti e soli gli elementi del tipo:

con l'intesa che A (α) e B (α) individuino lo stesso elemento di K′ quando e solo quando sia:

ossia:

con q(α) polinomio a coefficienti in K.

Avendosi ora ovviamente:

risulta dimostrato che l'elemento α di K′ è una radice della f(x) = 0 in K′.

Estendendo il risultato ora ottenuto, il quale mette in evidenza un procedimento costruttivo tipico dell'algebra moderna, si perviene facilmente a dimostrare che, a partire da una qualunque equazione algebrica f(x) = 0 in K, si può costruire un'estensione algebrica K′ di K, univocamente definita a meno di isomorfismi, che rappresenta il corpo minimo, nel quale l'equazione f(x) = 0 ha tante radici quanto è il grado del polinomio f(x), ogni radice essendo contata con la sua molteplicità (da definirsi, come nel caso classico, con la teoria della divisibilità tra polinomî). Per l'estensione algebrica K′ di K vale, in altre parole, in rapporto all'equa zione f(x) = 0, il teorema fondamentale dell'algebra nel senso più lato.

Non è però detto che in K′ tale teorema valga in rapporto ad un'altra equazione a coefficienti in K. Sorge così il problema se si possa ampliare un dato corpo K in un corpo K*, in modo che ogni equazione a coefficienti in K di grado n possegga in K* esattamente n radici. A tale questione lo Steinitz ha dato risposta affermativa, mediante una profonda analisi, nel corso della quale si deve far uso del postulato di Zermelo (v. insieme, XIX, p. 358). In K*, possiede n radici non solo ogni equazione digrado n a coefficienti in K; ma, più generalmente, ogni equazione di grado n a coefficienti in K*. Il corpo K* si dice perciò un corpo "algebricamente chiuso" in quanto ogni equazione di grado n a coefficienti in K* possiede in K* esattamente n radici. Dopo ciò, il contenuto del teorema fondamentale dell'algebra nel caso classico si può enunciare dicendo che il corpo dei numeri complessi è un corpo algebricamente chiuso. Mentre il risultato dello Steinitz afferma in modo preciso che per ogni corpo K esiste un'estensione algebrica minima, univocamente determinata a meno di isomorfismi, la quale sia un corpo algebricamente chiuso. È ovvio che un corpo algebricamente chiuso non è suscettibile di alcun ampliamento algebrico.

5. Rìtornando dopo ciò al problema di classificare tutti i possibili tipi di corpi, distinti rispetto all'isomorfismo, giova ricordare un altro risultato fondamentale dello Steinitz, secondo il quale, essendo É un corpo qualsiasi contenente un corpo K come sottocorpo, si può ottenere É eseguendo su K un numero finito o infinito di estensioni trascendenti pure, seguìto da una conveniente estensione algebrica. Il numero delle estensioni trascendenti pure necessarie per costruire É a partire da K è sempire lo stesso per qualunque via si proceda; e costituisce perciò un invariante che si dice il "grado di trascendenza" di É rispetto a K.

In base ai risultati anzidetti, tenuto conto della conoscenza di tutti i possibili tipi di sottocorpi fondamentali (n. 2), si ha modo di costruire tutti i possibili tipi di corpi. In particolare, si possono agevolmente classificare tutti i corpi costituiti da un numero finito di elementi. Il numero degli elementi di un corpo finito è sempre del tipo pⁿ, essendo p un intero primo ed n un intero positivo; e, rispetto all'isomorfismo, vi è uno ed un sol tipo di corpo costituito da pⁿ elementi, essendo p un qualunque numero primo ed n un intero positivo qualunque.

6. Un corpo K*, che sia un'estensione algebrica (n. 3) di un corpo K, si dirà un'estensione algebrica "finita" o "infinita" di K a seconda che K* si possa ottenere da K con un numero finito o infinito di estensioni algebriche semplici. L'estensione algebrica K* di K si dirà poi "separabile" se tutti gli elementi di K* sono separabili rispetto a K, se cioè l'equazione algebrica irriducibile a coefficienti in K a cui soddisfa ogni elemento di K* (n. 3) ha radici tutte distinte.

I concetti ora introdotti hanno grande interesse nella ricerca delle condizioni sotto le quali si può estendere ad un corpo astratto dato la teoria di E. Galois. All'uopo occorre anzitutto introdurre la nozione di "estensione (o prolungamento) normale" di un corpo K: un'estensione algebrica N di un corpo K si dice precisamente una "estensione normale" di K se ogni polinomio irriducilbile in K avente una radice in N ha sempre tutte le sue radici in N. Dopo ciò, si prova che la teoria di F. Galois si può estendere in rapporto al corpo K allora ed allora soltanto che ogni estensione finita e normale di K sia un'estensione separabile.

7. Ulteriori importanti sviluppi della teoria dei corpi astratti si ottengono avvicinando tale teoria alla topologia astratta (v. topologia, in questa App.). A ciò si perviene cercando di definire, con J. Kürschák, per gli elementi di un corpo astratto una funzione analoga al "valore assoluto" nel caso del corpo complesso. Si dice precisamente che in un corpo K è definita una "valutazione" se per ogni elementti x di K è definito un numero reale ϕ (x), con le seguenti condizioni:

Se ϕ è una valutazione in K e si assume ϕ (a − b) come "distanza" tra i due elementi a e b di K, il corpo K diviene uno "spazio metrico" al quale si possono applicare i risultati ed i metodi della topologia.

Le possibili valutazioni di un corpo astratto sono state profondamente indagate da A. Ostrowski. Già nel caso del corpo razionale si ottengono due possibili tipi di valutazioni, essenzialmente distinti. L'uno di essi si ottiene ponendo:

ed è così legato al valore assoluto nel senso ordinario. Per ottenere l'altro conviene osservare che ogni numero razionale x si può mettere nella forma:

essendo p un dato numero primo ed u, v, interi primi tra loro e non divisibili per p. L'esponente α (che sarà un intero positivo, negativo o nullo) è determinato da x; e ponendo:

essendo c un numero reale qualunque > 0 e 〈 1 si ha la cosiddetta "valutazione p-adica" del corpo razionale; per la quale è soddisfatta non solo l'ultima delle [3], ma addirittura la disuguaglianza più forte:

Se per una valutazione di un corpo astratto K vale sempre la relazione [4], la valutazione si dice "non archimedea"; in caso contrario si parla di una "valutazione archimedea". L' Ostrowski ha dimostrato che i soli corpi possedenti una valutazione archimedea sono i sottocorpi del corpo complesso. Tale risultato fondamentale permette sostanzialmente di limitare le indagini alle valutazioni non archimedee.

Quando in un corpo è definita una valutazione si può introdurre rispetto a tale valutazione la nozione di convergenza di una suecessione verso un limite, usando all'uopo la valutazione in modo analogo a quanto si fa nell'analisi ordinaria mediante il valore assoluto. Se il limite di una successione a_i (i = 1,2, . . .) esiste in K, sarà soddisntta la nota condizione di A. Cauchy (v. limite, XXI, p. 162), ossia esisterà per qualunque ε > 0 un ν, tale che, per ogni coppia p, q d'indici maggiori di ν, sia:

Ma, inversamente, se è soddisfatta la [5], non è detto che la successione converga verso un elemento di K. Si dimostra però che il corpo K si può sempre ampliare in un corpo "completo" K*, nel quale tutte le successioni soddisfacenti alla condizione di Cauchy convergono verso un elemento di K*. Naturalmente la struttura di K* non dipende soltanto da K ma anche dalla valutazione, considerata in K. Così, ad es., se K è il corpo dei numeri razionali e si prende come valutazione l'ordinario "valore assoluto", il corpo K* è isomorfo al corpo dei numeri reali; se invece si assume come valutazione quella più sopra indicata, legata al numero primo p, il corpo K* è il corpo dei "numeri p-adici", totalmente diverso dal corpo reale: l'analisi ordinaria è legata al corpo reale; ma si può costruire un' "analisi p-adica", legata al corpo dei numeri p-adici.

Vale anche la pena di rilevare che, fissata in un corpo K una valutazione, si può costruire un'estensione minima K* di K, determinata a meno di isomorfismi, la quale sia non solo completa ma anche algebricamente chiusa (n. 4). Se K è il corpo razionale e la valutazione fissata è l'ordinario "valore assoluto", K* è isomorfo al corpo dei numeri complessi.