KUMMER, Ernst Eduard

KUMMER, Ernst Eduard

Matematico, nato a Sorau (Bassa Lusazia) il 29 gennaio 1810, morto a Berlino il 14 maggio 1893. Insegnò dapprima nel ginnasio di Liegnitz (1832-1842), dove ebbe allievo L. Kronecker, poi all'università di Breslavia (1843-1855) e infine in quella di Berlino (1856-1883).

I primi lavori del K. riguardano l'equazione di Riccati e la teoria delle serie e degl'integrali definiti; fra questi lavori è particolarmente notevole la grossa memoria sulle serie ipergeometriche (Journ. für reine u. ang. Math., XV, 1836, pp. 39-83, 127-72). Un secondo gruppo di lavori si riferisce alla teoria dei numeri e specialmente all'analisi indeterminata. I varî tentativi che egli fece per dimostrare l'inesistenza di soluzioni intere non nulle per n > 2 dell'equazione xⁿ + yⁿ = zⁿ (il cosiddetto "ultimo teorema di Fermat") - inesistenza fin ad oggi non dimostrata per qualsiasi n > 2 e dal K. stabilita solo per una speciale classe di numeri primi n (v. aritmetica:A. superiore, n. 14) - lo indussero allo studio dei campi d'integrità determinati dalle radici n^me dell'unità. In tali campi non valgono, in generale, le leggi ordinarie della divisibilità aritmetica, e per ristabilire queste leggi il K. introdusse il concetto di "numero ideale" (v. aritmetica:A. superiore, n. 15). Frutto di queste sue ricerche è la celebre memoria De numeris complexis qui unitatis radicibus et numeris integris realibus constant (Breslavia 1844; riprodotta in Journ. de Math. pures et appl., XII, 1847, pp. 185-212). Per questi suoi studî, che furono di fondamento alla teoria dei corpi algebrici, l'Accademia delle scienze di Parigi nel 1857 gli conferiva il gran premio delle matematiche, proposto nel 1853 (per una dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat, e prorogato sino al '56). Altri notevoli lavori del K. nel campo della teoria dei numeri riguardano la legge di reciprocità dei residui di potenze (Monatsber. der k. Preuss. Ak. der Wiss. zu Berlin, 1850, pagine 154-165; v. aritmetica:A. superiore, n. 8) e la determinazione dei quadrilateri razionali, cioè aventi i lati, le diagonali e l'area espressi da numeri razionali (Journ. für reine u. ang. Math., XXXVII, 1848, pp.1-20). Un terzo gruppo di lavori è costituito da memorie di geometria analitica, fra cui assai notevole quella sui sistemi algebrici di rette, dove è studiata la superficie di 4° ordine con 16 punti doppi, detta oggì superficie di Kummer (Journ. für reine u. ang. Math., LVII, 1860, pp. 189-230; Math. Abhand. der k. Preuss. Ak. der Wiss. zu Berlin, 1866, pp.1-220).

La vita scientifica del K. è stata illustrata da L. Kronecker nell'indirizzo rivoltogli a nome dell'Accademia delle scienze di Berlino nel cinquantenario del suo dottorato (Monatsber. der k. Preuss. Ak. der Wiss. zu Berlin, a. 1881, pp. 895-8) e da K. Hensel in una pubblicazione fatta nella ricorrenza del centenario della sua nascita (Lipsia, 1910; ripubblicata in Abhand. zur Gesch. der Math.Wiss., XXIX, 1910, p. 22).

Superficie del kummer. - Si dà questo nome alla superficie algebrica del 4° ordine con 16 punti doppî, la quale si è presentata allo scopritore (1864) come superficie focale di una congruenza di rette di 2° grado e, più tardi (1870), a F. Klein, come superficie singolare comune ad ∞¹ complessi di rette di 2° grado omofocali. Un caso particolare notevole della superficie del K. è la cosiddetta superficie delle onde del Fresnel.

La superficie del K. è caratterizzata dal possesso dei 16 punti doppî, in forza dei quali risulta anche di 4ª classe. Perciò essa possiede anche 16 piani tangenti lungo coniche.

La configurazione dei 16 punti doppî e dei 16 piani singolari di una superficie del K. è stata studiata da molti matematici. Essa gode della proprietà che per ogni suo punto passano 6 suoi piani e in ogni suo piano giacciono 6 suoi punti. Queste proprietà si possono dedurre anche partendo dalla rappresentazione parametrica della superficie - scoperta dal Klein - per mezzo di funzioni iperellittiche (quattro volte periodiche) di due argomenti. Per le più importanti proprietà di questa superficie v. R. Hudson, Kummer's quartic surface, Cambridge 1905.