fascio

fascio

fascio termine usato in matematica con significati diversi.

□ In geometria, famiglia di curve o di superfici, ottenuta come combinazione lineare delle equazioni di due curve o due superfici, dette, rispettivamente, curve o superfici base del fascio. Ogni elemento di un fascio dipende pertanto dal valore assunto da due parametri reali o, con qualche restrizione, dal loro rapporto. La varietà base o insieme dei punti base del fascio è l’insieme dei punti comuni a tutti gli elementi del fascio. Per esempio, date in un sistema di riferimento cartesiano Oxy due rette di equazioni ax + by + c = 0 e a′x + b′y + c′ = 0, il fascio di rette individuato dalle due rette è l’insieme dei punti del piano le cui coordinate soddisfano l’equazione λ(ax + by + c) + µ(a′x + b′y + c′ ) = 0 al variare dei parametri λ e µ, non entrambi nulli, in R. Occorre osservare che, in tale caso, se le due rette di base sono tra loro parallele, il variare dei parametri determina l’insieme di tutte le rette parallele alle due di base (fascio di rette parallele, detto anche fascio improprio di rette), mentre se tali rette sono incidenti in un punto P₀(x₀, y₀), la particolare combinazione lineare individua l’insieme di tutte le rette che passano per tale punto (fascio proprio di rette).

□ In geometria proiettiva un fascio è una delle forme di prima specie.

□ In geometria algebrica, il termine fascio indica un ente che si può costruire associando un insieme dotato di struttura algebrica (gruppo, anello ecc.) a ogni punto di uno spazio topologico e definendo sull’insieme di essi un’opportuna topologia rispetto alla quale le operazioni algebriche siano continue. Ne è un esempio il fascio dei germi di funzioni analitiche su una varietà complessa (→ germe). La teoria dei fasci fornisce uno strumento per trattare problemi di raccordo tra proprietà locali e globali degli enti oggetto di studio. Per fascio strutturale si intende un particolare tipo di fascio su una varietà algebrica: è il fascio delle funzioni regolari della varietà, che a ogni aperto associa l’algebra delle funzioni regolari definite su quell’aperto. Dotata del suo fascio strutturale, ogni varietà algebrica assume la struttura di → schema.