coomologia, gruppi di
coomologia, gruppi di
coomologia, gruppi di sequenza di gruppi abeliani, solitamente denotati con Hn(C) (un gruppo per ogni numero intero n), che si associa a un qualsiasi complesso di cocatene C. Come i gruppi di omologia, di cui sono il concetto duale, i gruppi di coomologia sono oggetti algebrici fondamentali in topologia perché forniscono degli invarianti omotopici e quindi degli invarianti topologici. Le loro applicazioni sono molteplici e varie, come, per esempio, quella al problema della caratterizzazione delle classi di equivalenza topologica. Molti sono i tipi di coomologia studiati in topologia (ma anche in altri settori della matematica) come, per esempio, la coomologia simpliciale (per spazi triangolabili), la coomologia singolare, la coomologia di de Rham (per varietà differenziabili) e la coomologia di Dolbeault (per varietà complesse).
Dato un complesso di cocatene C
con morfismi bordo ∂n (n in Z), il gruppo dei cocicli di dimensione n e il gruppo dei cobordi di dimensione n sono, rispettivamente, il nucleo del morfismo ∂n e l’immagine del morfismo ∂n−, solitamente denotati con Zn(C) e Bn(C). Entrambi sono sottogruppi di Cn e, dal momento che la composizione ∂n ∘ ∂n−1 è il morfismo nullo, Bn(C) è un sottogruppo di Zn(C). L’ennesimo gruppo di coomologia Hn(C) del complesso C è il gruppo quoziente Hn(C) = Zn(C)/Bn(C).
I gruppi di coomologia simpliciale di uno spazio topologico triangolabile sono ottenuti attraverso il seguente processo di dualizzazione applicato al complesso delle catene simpliciali. In generale, a un complesso di catene C, composto dai gruppi abeliani Cn e dai morfismi bordo ∂n, è possibile associare il complesso di cocatene C*, composto dai gruppi abeliani Cn = Hom(Cn, Z) (il gruppo dei morfismi da Cn a Z) e dai morfismi cobordo ∂n che associano a un elemento φ di Cn l’elemento φ ∘ ∂n+1 di Cn+1. I gruppi di coomologia del complesso C* così ottenuto sono determinati dai gruppi di omologia del complesso C e viceversa (quando i gruppi sono finitamente generati); conoscere gli uni è dunque equivalente a conoscere gli altri. Le proprietà intrinseche di uno spazio topologico X deducibili dai suoi gruppi di coomologia simpliciale coincidono perciò con quelle deducibili dai suoi gruppi di omologia simpliciale. Per la sfera (di dimensione 2), gli unici gruppi di coomologia simpliciale non banali sono H 0 = Z e H 2 = Z; per la circonferenza, il cilindro, il nastro di Möbius sono H 0{{{1}}}e H 1{{{1}}} per la bottiglia di Klein sono H 0{{{1}}}1{{{1}}}e H 2{{{1}}} Z/2Z; per il toro sono H 0 = Z, H 1 = Z + Z e H 2 = Z.