gruppo di rinormalizzazione

gruppo di rinormalizzazione

Utilizzato nello studio del comportamento di un sistema fisico nelle vicinanze di una transizione di fase del secondo ordine, caratterizzata da fluttuazioni di un particolare parametro detto d’ordine. Nel regime di transizione di fase, la lunghezza di correlazione di tali fluttuazioni diverge e quindi il materiale si comporta come un tutto: dalle sue proprietà locali (per es., le interazioni tra le sue componenti) emerge un ordine su scale macroscopiche. Non è dunque sorprendente che importantissime informazioni sui fenomeni critici possano essere ottenute studiando il comportamento del sistema per trasformazioni di scala, ovvero considerando sue parti di dimensioni sempre più grandi. Tutte le varianti della teoria del gruppo di rinormalizzazione hanno infatti in comune in primo luogo che tutti i gradi di libertà del sistema considerato che siano irrilevanti alla scala scelta sono semplicemente eliminati. L’esempio classico è quello di un reticolo di spin, ovvero un reticolo a ogni vertice del quale sia posto un oggetto che possa trovarsi nei soli stati ‘su’ e ‘giù’ (per es., 1 e −1). L’eliminazione dei gradi di libertà avviene considerando blocchi di reticolo di grandezza determinata come un unico spin o, equivalentemente, integrando su tutti gli impulsi maggiori di un certo cut-off. La funzione hamiltoniana (identificabile con l’energia del sistema) rimane in questo processo in forma (quasi) invariante. Successivamente, si realizza una trasformazione di scala tale che lo spazio delle fasi ritrovi la sua dimensione originaria (ossia tale che i blocchi siano riportati alla grandezza iniziale). Tecnicamente, quest’ultimo passaggio è realizzato descrivendo il sistema tramite una nuova hamiltoniana, che conserva la medesima struttura della precedente ma presenta costanti di accoppiamento (nel nostro esempio, quelle che regolano l’intensità dell’interazione tra spin) di valore differente (rinormalizzate). L’insieme di queste trasformazioni forma un semigruppo (ossia due trasformazioni possono essere composte ma ciascuna di esse non è reversibile), che con un abuso di linguaggio è detto gruppo di rinormalizzazione.

→ Frattali; Leggi di scala; Transizioni di fase e punti critici