I modelli variazionali
I modelli variazionali
I modelli variazionali
Con la nascita del calcolo infinitesimale, equazioni alle differenze ed equazioni differenziali sono venute a costituire uno strumento privilegiato nella costruzione dei modelli matematici. Si consideri il semplice esempio di un corpo che cade liberamente nel vuoto, soggetto unicamente alla forza di gravità e per il quale si vuole determinare la legge del moto. Il punto di partenza è costituito dalla seconda legge newtoniana F = ma dove il modulo dell’accelerazione è a = y″ (con y che indica la posizione occupata nel tempo dal corpo nella sua caduta, lungo la verticale). Risulta in conclusione y″ = −g: si tratta di determinare y = y(t) sfruttando l’informazione relativa alla sua derivata seconda e quindi risolvendo un’equazione differenziale del secondo ordine. Integrando successivamente due volte, si ottiene
(con c1 e c2 costanti). Se adesso si suppone che all’istante iniziale il corpo si trovi fermo ad altezza y = 0, si ottiene la legge del moto
La procedura di costruzione di un modello matematico si può sintetizzare in quattro momenti: rilevamento dei dati sperimentali; loro interpretazione e formulazione di una legge riguardante l’evoluzione del fenomeno; traduzione di questa legge in termini matematici (un’equazione alle differenze o un’equazione differenziale, in generale, nei modelli variazionali); esame del modello matematico allo scopo di trarne le informazioni che si ritengono utili.
Come ulteriore esempio (dopo quello introduttivo, particolarmente semplice) si consideri l’obiettivo di valutare la probabilità che una macchina utensile, impiegata per la produzione di un determinato articolo, non si fermi in un certo intervallo di tempo (t0, t*0 + t*), essendo funzionante al tempo t0. Si supponga che, rilevando alcuni dati sul funzionamento di macchine simili, si giunga alla formulazione delle seguenti ipotesi:
a) la probabilità cercata dipende dall’ampiezza t dell’intervallo (e non da t0);
b) la probabilità che la macchina si fermi nell’intervallo (t0, t*0 + t*) è proporzionale a t, a meno di infinitesimi di ordine superiore rispetto a t stesso;
c) se (t0, t*0 + t*) e (t1, t*1 + t*) sono due intervalli temporali disgiunti, allora gli eventi «la macchina non si ferma nell’intervallo (t0, t*0 + t*)» e «la macchina non si ferma nell’intervallo (t1, t*1 + t*)» sono indipendenti.
Per costruire un modello, bisogna tradurre matematicamente le condizioni a), b) e c). Si indichi con p(t) la probabilità richiesta e, guidati dall’esempio precedente, si cerchi un’espressione per l’incremento p(t + Δt) – p(t). Ora p(t + Δt) rappresenta la probabilità che la macchina non si fermi nell’intervallo (t0, t*0 + t + Δt). Perché questo evento si verifichi, è necessario che la macchina non si fermi nell’intervallo (t0, t*0 + t), di lunghezza t, e neppure nell’intervallo (t0 +t, t*0 + t + Δt), di lunghezza Δt. L’ipotesi di indipendenza c) autorizza allora a scrivere: p(t + Δt) = p(t)p(Δt).
D’altra parte, se Δt è piccolo (intendiamo passare, prima o poi, al limite per Δt → 0) si può utilizzare la b) per scrivere (a meno di infinitesimi di ordine superiore a Δt): 1 − p(Δt) = aΔt con a > 0 costante di proporzionalità. Di conseguenza, si ha:
Dividendo per Δt e passando al limite per Δt → 0, si ottiene p′ (t) = −ap(t) con la ovvia condizione iniziale p(0) = 1. Questo problema di Cauchy, con un’equazione differenziale lineare, costituisce il modello matematico cercato. La sua soluzione è data dalla funzione p(t) = e−at che mostra come la probabilità che la macchina non si fermi decresca molto rapidamente con t*.
Cambiando decisamente contesto, si passi a studiare la crescita di una popolazione su cui l’ambiente esterno abbia un’influenza trascurabile. Si può pensare, per esempio, a una popolazione di batteri e si supponga di voler sapere dopo quanto tempo la popolazione raddoppia; si supponga inoltre che il rilevamento dei dati sperimentali conduca a formulare l’ipotesi per cui in ogni istante il tasso di crescita è proporzionale alla popolazione esistente. Per costruire il modello matematico, si indichi con x(t) il numero di individui presenti al tempo t*, supponendo di conoscere il numero M di individui presenti in un dato istante (che sarà preso come origine dei tempi). Si ha quindi x(t0) = M, dove M è naturalmente un valore medio effettuato su rilevamenti in vari istanti. Considerando un intervallo di tempo (t, t + Δt) si ha che x(t + Δt) – x(t) rappresenta l’incremento del numero di individui dall’istante t* all’istante t + Δt;
rappresenta il tasso di crescita medio, relativo all’intervallo t + Δt;
rappresenta il tasso di crescita istantaneo. È possibile ora costruire il modello matematico. Se il tasso di crescita è proporzionale alla popolazione esistente, si dovrà avere: x′ (t) = kx(t) (k > 0, costante di proporzionalità, dipendente dalla popolazione in esame) e x(0) = M (condizione iniziale).
L’equazione differenziale in questione è un’equazione differenziale ordinaria, lineare, del primo ordine: essa converte un’informazione statica (conoscenza del numero di individui al tempo t) in un’altra dinamica (conoscenza della velocità di accrescimento nello stesso istante). Il problema di Cauchy a cui si è pervenuti è lo stesso dell’esempio precedente: due situazioni completamente diverse nella loro natura sono descritte da uno stesso modello matematico. La soluzione del problema di Cauchy porta così nuovamente a una funzione quale x(t) = Mekt. È ora facile ottenere l’informazione desiderata sul tempo T di raddoppiamento della popolazione. Dovendo essere x(T) = 2M, da x(t) = Mekt si ricava 2M = MekT, da cui
Il tempo di raddoppiamento non dipende da M e sarebbe pertanto lo stesso per qualunque numero iniziale di individui.
Il modello appena descritto e analizzato è stato costruito nell’ipotesi che l’influenza dell’ambiente esterno fosse trascurabile e che il tasso di crescita fosse proporzionale alla popolazione esistente. Può darsi però che l’ambiente esterno influenzi lo sviluppo, imponendo che la popolazione non superi un dato valore N; ciò può verificarsi per esempio se vi sono limitazioni sulla quantità dei mezzi di sopravvivenza. Un’ipotesi che appare ragionevole è allora supporre che il tasso di crescita sia proporzionale tanto a x(t) (numero degli individui presenti) quanto a N − x(t). Si ha allora x′ = kx(N − x) ovvero l’equazione di Bernoulli:
che ammette come integrale generale
dove la costante c viene determinata in funzione di un’opportuna condizione iniziale.
Come ulteriore esempio di modello variazionale si consideri un contesto economico e la scelta del prezzo di mercato di un dato bene in condizioni di equilibrio. Le ipotesi più semplici richiedono che la quantità domandata e quella offerta del bene dipendano dal prezzo p dello stesso bene. Sembra ragionevole supporre che la domanda sia inizialmente pari a una quantità positiva a (per p = 0; anche quando il bene è gratuito, vari vincoli impongono che la domanda sia finita) e che poi vari linearmente al variare del prezzo, diminuendo quando questo aumenta: che abbia quindi un’espressione del tipo D(p) = a − bp (con a, b > 0). Analogamente si può supporre che la quantità offerta del bene dipenda dal prezzo secondo l’espressione S(p) = −c + dp (con c, d > 0), aumentando con l’aumentare del prezzo (risulta S(p) > 0 per p > c /d; per prezzi inferiori, il bene non viene offerto). Il mercato è in equilibrio quando la domanda è uguale all’offerta: a − bp = −c + dp, cioè quando
Il modello così descritto è statico: si suppone che tutto si svolga nello stesso istante di tempo. Ci sono però dei beni la cui produzione richiede un certo tempo. I produttori sono allora costretti a decidere in anticipo il livello della produzione e così, mentre i consumatori scelgono la quantità da acquistare in base al prezzo corrente, la quantità offerta è stata decisa (per esempio) l’anno precedente in funzione dunque dei prezzi dell’anno precedente. Le funzioni di domanda e di offerta risultano modificate in Dn = a − bpn e Sn = −c + dpn−1. Per l’equilibrio deve risultare Dn = Sn, ovvero a – bpn = −c + dpn−1, da cui si ricava l’equazione alle differenze (lineare del primo ordine):
che ammette come soluzione
dove p0 è il prezzo iniziale e
è il prezzo di equilibrio statico. Il trend dei prezzi negli anni successivi porta a calcolare il limite di pn per n → +∞: pn converge a p* e il sistema tende ad assumere una configurazione di equilibrio, quando il valore assoluto di −d /b è minore di 1 ovvero per d < b, quando la pendenza della funzione di offerta è minore in valore assoluto di quella di domanda.