insieme connesso
insieme connesso
insieme connesso spazio topologico X in cui gli unici sottoinsiemi che siano simultaneamente aperti e chiusi sono ∅ e X. Un insieme E aperto (chiuso) si dice connesso se non è unione di due o più aperti (chiusi) disgiunti. Tra le diverse accezioni particolari della locuzione insieme connesso merita una segnalazione la nozione di insieme connesso per archi: così è detto un insieme E tale che per ogni coppia di punti A e B di E esiste un arco di linea semplice e continua parametrizzata da P(t) tale che P(0) = A, P(1) = B. Se un insieme E è connesso per archi è connesso, ma non viceversa.
Un’altra nozione assai importante nelle applicazioni è quella di insieme E semplicemente connesso: un insieme connesso E ⊆ Rn è semplicemente connesso se ogni ciclo σ contenuto in E è omotopo a zero, cioè se può essere deformato con continuità, restando sempre in E, fino a ridursi a un punto (di E). Non sono semplicemente connessi in R2 un disco privato del centro o una corona circolare, in R3 lo spazio privato di una retta, mentre lo è se si elimina solo un punto. Un insieme connesso che si può rendere semplicemente connesso mediante un solo taglio (cioè privandolo di una linea, in R2, o di una superficie, in R3) si dice duplicemente connesso; e più in generale si dirà molteplicemente connesso un insieme che si può rendere semplicemente connesso con m − 1 tagli.