LIOUVILLE, Joseph
LIOUVILLE, Joseph
Matematico, nato a Saint-Omer (Pas de-Calais) il 24 marzo 1809, morto a Parigi l'8 settembre 1882. Professore di matematica alla Scuola politecnica e al Collegio di Francia, di meccanica alla Sorbona, fu fatto membro dell'Istituto di Francia nel 1839. Fondò nel 1836 il Journal de mathématiques pures et appliquées, la cui direzione tenne fino al 1875.
Il L. è tra i maggiori analisti francesi del sec. XIX. Si deve a lui la prima dimostrazione (1851) dell'esistenza di numeri trascendenti (cioè di numeri, che non siano radici di nessuna equazione algebrica a coefficienti razionali); e il suo nome è legato a notevoli risultati di geometria differenziale, di teoria delle funzioni, di meccanica analitica, fra i quali (rimandando a più sotto per le cosiddette "superficie del L.") si citano qui, come più noti, i due seguenti:1. una funzione analitica f (z) della variabile complessa z non può essere regolare e limitata in tutto il piano, compreso il punto all'infinito, senza ridursi a una costante; 2. un sistema canonico o hamiltoniano di 2 n equazioni differenziali si può integrare per quadrature, quando se ne conoscano n integrali indipendenti, i quali siano fra loro in involuzione, cioè tali che, presi a coppie in tutti i modi possibili, abbiano identicamente nulle le parentesi del Poisson (v. Equazioni, n. 20).
È pur notevole il caso d'integrabilità, detto del L., dell'equazione a derivate parziali di Hamilton-Jacobi, associata a un sistema canonico in cui la funzione caratteristica H non dipenda dal tempo. In tal caso si riesce a determinare un integrale completo della detta equazione mediante la separazione delle variabili.
Superficie del Liouville. - Si designano con questo nome quelle superficie, su cui è possibile scegliere un sistema di coordinate curvilinee u, v (v. coordinate, n. 25), tali che il quadrato dell'elemento lineare (cioè della distanza ds di due generici punti infinitamente vicini della superficie, corrispondennti rispettivamente alle coordinate u, v e u + du, v + dv) assuma un'espressione della forma
dove U, U1 sono due funzioni della sola u e similmente V e V1 sono funzioni della sola v; e in tal caso si può, con un conveniente cambiamento di coordinate u, v, ridurre sempre U1 = V1 = 1. Queste superficie comprendono, come casi particolari, le superficie sviluppabili, quelle di rotazione e le quadriche (o superficie algebriche del 2° ordine). Ora C.G. Jacobi aveva assegnato un metodo, che permette di determinare con sole quadrature tutte le geodetiche (v.) dell'ellissoide; e il L. dimostrò (in Journ. de math., XI-XII, 1846-47) che col medesimo metodo si risolve l'analogo problema per tutte le superficie, il cui elemento lineare sia suscettibile della forma (L). Le rispettive geodetiche sono precisamente date da
dove a e b sono le due costanti arbitrarie, da cui dipende la doppia infinità delle geodetiche.
L'interesse di queste superficie si accrebbe, quando U. Dini risolse il problema, proposto da E. Beltrami, della determinazione di tutte le coppie di superficie reali, che ammettono una rappresentazione geodetica reale dell'una sull'altra, cioè una corrispondenza fra i punti reali delle due superficie, in cui a ogni geodetica dell'una corrisponda sull'altra una geodetica. Il Dini (in Ann. di matem., III, 1866) riconobbe che in ogni coppia siffatta entrambe le superficie sono del tipo (L). Precisamente, per una di esse l'elemento lineare (L) si può assegnare ad arbitrio, dopo di che le superficie, che ammettono una rappresentazione geodetica reale su quella così prefissata, sono - a meno di un'arbitraria omotetia - tutte, e sole, quelle che hanno l'elemento lineare
dove h è una costante arbitraria. Il Dini, nelle sue ricerche, fu condotto a caratterizzare le superficie del L. come quelle su cui esiste un sistema isotermo (v. cartografia: Cenni sulla teoria della costruzione delle carte, n. 6) di ellissi e iperbole geodetiche (luoghi dei punti, per cui è costante la somma o la differenza delle distanze geodetiche da due curve date). Più tardi S. Lie ha mostrato (in Math. Annalen, XX, 1882) che se si riprende il problema del Dini, ammettendo anche la possibilità di rappresentazioni geodetiche immaginarie, si perviene, oltre che alle superficie del L., a una nuova classe di superficie, il cui elemento lineare ha la forma
dove V′, V1 sono due funzioni della sola v.
La possibilità d'integrare per quadrature l'equazione differenziale delle geodetiche sulle superficie del L. è essenzialmente legata al fatto che una tale equazione ammette, in questo caso, un integrale quadratico; e, viceversa, è stato dimostrato (J.-É.-É. Bour, F. Massieu, G. Darboux) che le sole superficie, per cui questo fatto si verifica, sono precisamente quelle del L. e quelle che abbiamo ricordate del Lie.
Le superficie, il cui elemento lineare è riducibile in più modi alla forma del L., sono state caratterizzate intrinsecamente da G. Ricci-Curbastro e determinate completamente da G. Königs (1894).
D'altra parte T. Levi-Civita (1896) ha risolto, nel caso delle forze impresse nulle, il problema generale della trasformazione (nel senso di P. Painlevé) delle equazioni della dinamica, il quale, in codesto caso, equivale al problema geometrico di determinare le coppie di varietà reali a un qualsiasi numero n di dimensioni (v. iperspazio), che ammettono una rappresentazione geodetica reale l'una sull'altra; e fra gli elementi lineari, cui egli così pervenne, il tipo che si può dire più generale (in quanto corrisponde al caso delle radici distinte per l'equazione, da cui dipende la classificazione) costituisce, per la sua forma, una estensione degli elementi lineari del Liouville.