misura di Wiener

misura di Wiener

Una misura di probabilità sullo spazio C([0,1],ℝ) delle funzioni continue a valori reali sull’intervallo chiuso [0,1] definita come segue. Siano 0⟨t₁⟨...⟨t_ν≤1 punti arbitrari di [0,1] e A₁,...,A_ν sottoinsiemi boreliani della retta reale ℝ (unioni arbitrarie o intersezioni finite di intervalli chiusi). Indichiamo infine con C(t₁,...,t_ν;A₁,...,A_ν) l’insieme di tutte le funzioni x∈C([0,1],ℝ) tali che x(t_κ)∈A_κ, k=1,...,n. Se gli A_κ sono intervalli chiusi in ℝ allora gli insiemi C(t₁,...,t_ν;A₁,...,A_ν) sono detti cilindrici: gli stessi A_κ sono le basi di questi ‘cilindri’. La misura di Wiener μ_Ϭ è definita dalla formula

dove p(t,x)=1/√__2πt e^−χ2/2τ. La misura può essere poi estesa alla σ-algebra dei sottoinsiemi boreliani di C([0,1],ℝ) generata dai C(t₁,...,t_ν;A₁,...,A_ν). Sia ora F:C([0,1],ℝ)→ℝ un funzionale lineare a valori reali misurabile (nel senso di Lebesgue) rispetto alla misura μ_Ϭ. In maniera analoga alla procedura utilizzata per definire dalla misura di Lebesgue il corrispondente integrale, si definisce allora l’integrale di Wiener

Misura e integrale di Wiener hanno costituito il primo esempio di estensione della teoria dell’integrazione a spazi di dimensione infinita e furono introdotti da Norbert Wiener nel 1923 nel quadro dei suoi studi sul moto browniano. La funzione p(t,x) assume qui il ruolo di densità di probabilità per la posizione x di una particella a un fissato tempo t e la quantità

appare come la probabilità che, nel suo moto, agli istanti t₁,...,t_ν la particella stessa si trovi all’interno degli insiemi A₁,...,A_ν.

→ Probabilità